Автор ЗаводноЙ АпельсинчеК задал вопрос в разделе Домашние задания
Что больше sin(cosx) или cos(sinx)? Почему?? и получил лучший ответ
Ответ от Белый и Кусучий[мастер]
Приведу другое доказательство того, что cos(sin(x)) > sin(cos(x)) при всех х.
Так как функции cos и sin периодические с периодом 2Пи, то неравенство достаточно доказать только для х из отрезка [-Пи, Пи] .
Так как cos(sin(-x))=cos(-sin(x))=cos(sin(x)) и sin(cos(-x))=sin(cos(x)), т. е. обе функции чётные, то достаточно доказать неравенство при х из отрезка [0, Пи] .
При х из полуинтервала (Пи/2, Пи] sin(cos(x)) < 0 < cos(sin(x)).
Поэтому достаточно доказать неравенство при х из отрезка [0, Пи/2].
Заметим, что при х из отрезка [0, Пи/2] выполнено неравенство 0 <= sin(x) <= x, а cos ---убывающая функция. Поэтому sin(cos(x)) <= cos(x) <= cos(sin(x)), причём равенство в первом случае достигается только при cos(x)=0, а во втором только при x=0. Следовательно, при х из отрезка [0, Пи/2] sin(cos(x)) < cos(sin(x)).
sin(cosx) - cos(sinx) = cos(pi/2-cos x) - cos(sinx) =
-2sin(1/2(pi/2-cosx+sinx)) * sin(1/2(pi/2-cosx-sinx))
Покажи, что последние два синуса всегда больше нуля:
pi/2-cosx+sinx = pi/2-(корень из 2)(sin x+pi/4), а это дело больше нуля и меньше pi.
Аналогично, pi/2-cosx+sinx больше 0 и меньше pi.
Значит, синусы этих углов положительные,
а произведение во второй строчке -- отрицательное.
Поэтому sin(cosx) меньше cos(sinx)
Удачи,