задача бюффона

Ответ от Максим Ю. Волков[гуру]
Знаменитая задача “об игле” (G. Buffon, 1777 г. ) представляет исключительный интерес не только для специалистов, развивающих и применяющих современные технологии рандомизированных вычислений. Идеи Бюффона стимулировали возникновение и развитие геометрической вероятности, заложили основы интегральной геометрии, создали теоретический фундамент метода Монте-Карло. Кроме того, геометрический подход оказался плодотворным для построения базисных функций конечно-элементной интерполяции. Появились новые задачи прикладной геометрии и новые приемы геометрического моделирования. Известный парадокс Бертрана [1], ослабивший на какое-то время доверие к геометрической вероятности, после убедительных разъяснений Бореля и Пуанкаре стал источником многочисленных обобщений. Надо отметить, что первое обобщение задачи “об игле” принадлежит самому Бюффону. К сожалению, Бюффон не нашел правильного решения обобщенной задачи. Это не удивительно. В математике нет другого такого раздела, в котором столь же легко допустить ошибку, как в теории вероятностей. Правильное решение удалось получить Лапласу [2]. Представляет интерес анализ причин возникновения “ошибочных” решений. “Ошибочными” мы называем решения, не совпадающие точно с решением Лапласа. “Ошибки” являются результатом некоторой предвзятости авторов, которая нередко допускается в математическом (в особенности, стохастическом) моделировании. Понятно, что качество решения нетрудно установить по экспериментальным оценкам знаменитой константы .
Анализ предшествующих публикаций, постановка задачи
Задача “об игле” Бюффона была сформулирована в 1733 г. , а опубликована вместе с решением только в 1777 г. [1, 2]. Появление геометрических вероятностей стало выдающимся событием в науке. Оно способствовало формированию нового языка, стиля и облика теории вероятностей [3]. Благодаря геометрическим вероятностям возникла и бурно развивается интегральная геометрия [4]. Классические результаты Бюффона лежат в основе современного и весьма универсального метода статистического моделирования [5]. В последние годы геометрические вероятности успешно применяются в конечно-элементном анализе [6, 7].
Цель статьи – проиллюстрировать простой и наглядный способ решения классической и обобщенной задачи Бюффона. Особенность предложенного подхода в том, что он обнаруживает одну из причин возникновения “ошибочных” решений обобщенной задачи Бюффона.
Основная часть.
Классическую задачу Бюффона с подробным решением можно найти практически в каждом учебнике или задачнике по теории вероятностей. Обобщенная задача встречается гораздо реже. Например, в [2] можно найти формулировку и ответ Лапласа, а в [8] – формулировку, решение и ответ, не совпадающий с ответом Лапласа. Именно с этими двумя результатами мы будем сопоставлять другие возможные модели.
Сформулируем классическую задачу Бюффона, используя обозначения [2]. Пусть плоскость разграфлена параллельными прямыми на расстоянии а друг от друга. На плоскость наугад бросается игла (отрезок) длины. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь из прямых.
ссылка