Время падения формула
Автор Димон Іваненко задал вопрос в разделе Техника
Как рассчитать время свободного падения тела с учитыванием сопротивления воздуха? и получил лучший ответ
Ответ от Олег Пестряков[гуру]
На высоте 5 км давление и плотность воздуха примерно вдвое меньше чем у земной поверхности. У поверхности Земли в Европейской зоне плотность в среднем равна ρ=1,258 кг/м3, на высоте 5 км - 0,735. Также нужно учесть снижение веса камня P=mg, на высоте 5 километров g будет не 9,81 а 9,79 и камень уже будет весить 199,7 кг. Далее вес его будет увеличиваться по закону P(6371/(6371+hкм)) ² Можно, конечно, учитывая, что эти изменения незначительны, поставить среднее значение g=9,8 и не заморачиваться, здесь даже интегрировать не надо. Сначала выясним, до какой скорости разгонится камень первоначально, подставив плотность воздуха на высоте 5 км в простую Формулу
V=√(2mg/cSρ). Аэродинамический коэффициент сопротивления камня, по форме близкого к шару, для дозвуковых скоростей равен примерно c=0,4; m - масса камня в кг, S - площадь его поперечного сечения, м², V - скорость м/с. Затем узнаем, сколько метров понадобилось для разгона:
L(м) =m*V²/2/√((g*m-c*S*ρ*V²/2)*g*m) и вычтем участок разгона из общей высоты 5 км. Далее камень будет плавно терять скорость по мере увеличения плотности воздуха. На участке торможения уже можно подставить среднее значение плотности воздуха ρ, меняющейся с высотой по экспоненциальному закону ρ*e^(nh) где n=-0,1075; h - высота в км. Если интегрировать, то от земли до 5 километров средняя плотность воздуха составит 0,9732 кг/м3. Её нужно подставить в формулу
V=√(2mg/cSρ), в итоге получив среднюю скорость на участке торможения. Средняя скорость на участке разгона с учетом сопротивления среды равна:
V=√(2L²/m²*(√((gmcSρ/2)²+g²m^4/L²)-gmcSρ/2)) где L - участок разгона в метрах. Дальше считаем по средним скоростям время на участках разгона и торможения и суммируем.
Единственное, что можно подкорректировать для большей точности, это посчитать среднюю плотность воздуха на участке разгона. Но тогда и температуру и влажность надо учитывать, настоящий коэффициент сопротивления камня в режиме свободного падения, когда центр масс ниже центра давлений, для чего есть аэродинамические трубы, камень при падении может начать вращаться или попасть в восходящий поток, в общем возможны неожиданности.
А что такое 200 камень?
Масса, форма, размеры какие?
А считается это стандартно - интегрируется уравнение движения.
Скорость тела в свободном падении зависит от его площади, массы и плотности воздуха (средняя скорость падения парашютиста около 50м в секунду) .
без формул!?
Свободное падение - это движение тел только лишь под действием притяжения Земли ( под действием силы тяжести) .
В условиях Земли падение тел считается условно свободным, т. к. при падении тела в воздушной среде всегда возникает еще и сила сопротивления воздуха.
При наличии трения падающие тела имеют ускорение g только в начальный момент движения. По мере увеличения скорости ускорение уменьшается, движение тела стремится к равномерному (вес тела и аэродинамическое сопротивление вроде как равны) .
В общем, чтобы рассчитать, нужен коэффициент Сx(от формы зависит) , мидель (макс. площадь горизонтального сечения) , скорость. .
С небольшой высоты не учитывается сопротивление обычно, много хлопот. В школе этого вообще нет, вроде. Только вот границу "небольшой высоты" я назвать не могу. Думаю, с 5км нужно учитывать, хотя кто знает.
Уравнение движения с учётом силы сопротивления выглядит так
FP - FS = ma = m dv/dt (1)
где FP = mg - сила тяжести, FS = kv² - сила аэродинамического сопротивления. И тогда получаем
mg - kv² = m dv/dt (2)
Нужно решить это дифференциальное уравнение и найти скорость v. Для решения левую часть уравнения переносим в знаменатель правой, а приращение времени из знаменателя правой переносим в числитель левой. И тогда получаем
dv/(mg-kv²) = dt/m (3)
В левой части стоит обычный стандартный интеграл, он выражается либо через гиперболический арктангенс, либо через логарифм. Я решал через логарифмы. Не буду выкладывать промежуточные формулы, а сразу даю готовый результат
v = (mg/k)½ (exp f -1 ) / (exp f +1) (4)
где f = 2t (kg/m)½ Параметр k - это коэффициент сопротивления воздуха, его нужно искать по таблицам в зависимости от скорости. А скорость как раз переменная. Поэтому можно делать последовательными приближениями:
1) задаёмся произвольной средней скоростью,
2) конечная скорость будет в 2 раза выше (это приблизительно, т. к. скорость меняется не линейно) ,
3) по средней скорости находим коэффициент сопротивления,
4) находим время из формулы (4) с использованием конечной скорости,
5) перемножая время на среднюю скорость, находим высоту падения,
6) в случае несовпадения найденной высоты с реальным значением задаёмся новым значением скорости.
Удачи!