tg 80

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
Пока ехал в метро, решил задачу.
Итак,
tg20° tg40° tg 80° = (sin20° sin40° sin80°)/(cos20° cos40° cos80°)
Обозначим числитель этой дроби A, знаменатель — B и посчитаем их отдельно.
а) знаменатель.
Домножим его на sin20° и воспользуемся трижды формулой синуса двойного угла:
sin20°*B = (sin20°cos20°)*cos40°cos80° = (½)(sin40°cos40°)cos80° =
= (¼)(sin80°cos80°) = (1/8)sin160°
Но sin160° = sin(180°−160°) = sin20°; таким образом, мы получили, что
sin20°*B = (1/8)sin20°, откуда
B = 1/8
б) числитель
Воспользуемся формулами произведения двух синусов и произведения синуса с косинусом:
sin20°*sin40° = ½(cos20°−cos60°) = ½(cos20°−½) = cos20°/2 − ¼;
A = (sin20°sin40°)sin80° = (cos20°/2 − ¼)sin80°,
sin80° cos20° = ½(sin100° + sin60°) = sin(180°−100°)/2 + √3/4 = sin80°/2 + √3/4;
A = (sin80°/2 + √3/4)/2 − sin80°/4 = √3/8
в) окончательно:
tg20° tg40° tg80° = A/B = (√3/8)/(1/8) = √3.
Что и требовалось доказать