Автор _Dиkая_k()шk@_ задал вопрос в разделе Домашние задания
Помогите ответить на вопрос из билетов. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласса. и получил лучший ответ
Ответ от Людмила Привалова[гуру]
Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли растет, а вероятность p уменьшается, то точная формула практически непригодна из-за громоздких вычислений и возникающих погрешностей округления. В этом случае пользуются приближенными формулами Пуассона (при npq < 9) и Муавра-Лапласа (npq > 9).
Теорема Пуассона
Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и так, что , ,то при любых
Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле можно воспользоваться приближенной формулой
, т. е. использовать формулу Пуассона для l = np.
На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Пусть 0< p <1 и величина при n ® ограничена. Тогда .
На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9.
Точность формулы растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n ® для любых a и b справедлива формула
.
Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
,
где , ,-функция Лапласа.
Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.
Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула
и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
, где , .
Теорема Бернулли
Если x - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p, 0 < p < 1, то для любого e > 0 справедливо: .
Утверждение теоремы Бернулли означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов x /n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.
Достаточно часто возникает необходимость установить, сколько нужно произвести испытаний, чтобы отклонение относительной частоты успехов x /n от вероятности p с вероятностью, больше или равной было меньше . Т. е. требуется найти n, для которого справедливо неравенство . Доказано, что число n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, удовлетворяет соотношению, где - решение уравнения . Следует обратить особое внимание на замечательный факт: искомое значение n не зависит от p!