телесный угол формула

Ответ от Лариса Крушельницкая[гуру]
Ну, во первых, формула, которую вы предлагаете, неправильная. Чтобы найти правильную формулу, нужно взять двумерный интеграл который не для слабых нервов.
Во вторых, эта формула даже в качестве первого приближения очень плохая. Когда α = β, она, естественно, точная, но чем больше отличается α от β, тем сильнее погрешность. Могу предложить более точную формулу.
Возьмём круг радиусом А, круг радиусом B и эллипс с полуосями А и В. Площади их соответственно S1 = πА², S2 = πВ² и S3 = πАВ.
Пусть угловой размер первой окружности равен 2α, второй – 2β, а эллипса соответственно 2α и 2β по каждой из полуосей.
Телесные углы двух окружностей равны соответственно Ф1 = 2π(1–cos α) и Ф2 = 2π(1–cos β).
Вопрос: учитывая, что телесный угол примерно пропорционален площади эллипса и принимая во внимание формулы для площадей, как должна выглядеть формула для телесного угла эллипса?
Первое, что приходит в голову по аналогии – Ф3 = 2π√(1–cos α)√(1–cos β).
Привожу результаты численного моделирования.
В первых двух столбцах – значения cos α, сos β.
В третьем столбце – расчёт телесного угла численными методами.
В четвёртом столбце – телесный угол по формуле 2π√(1–cos α)√(1–cos β).
В пятом столбце – телесный угол по формуле 2π [1–√(cos α • cos β)].
0.1 0.1 5.694 5.65487 5.65487
0.1 0.2 5.341 5.33146 5.39461
0.1 0.3 4.959 4.98712 5.19491
0.1 0.4 4.553 4.61718 5.02655
0.1 0.5 4.121 4.21489 4.87822
0.1 0.6 3.655 3.76991 4.74413
0.1 0.7 3.139 3.26484 4.62081
0.1 0.8 2.542 2.66573 4.50603
0.1 0.9 1.783 1.88496 4.39823
0.2 0.2 5.045 5.02655 5.02655
0.2 0.3 4.708 4.70191 4.74413
0.2 0.4 4.338 4.35312 4.50603
0.2 0.5 3.937 3.97384 4.29627
0.2 0.6 3.499 3.55431 4.10663
0.2 0.7 3.010 3.07812 3.93223
0.2 0.8 2.441 2.51327 3.76991
0.2 0.9 1.714 1.77715 3.61746
0.3 0.3 4.410 4.39823 4.39823
0.3 0.4 4.076 4.07197 4.10663
0.3 0.5 3.709 3.71718 3.84972
0.3 0.6 3.303 3.32475 3.61746
0.3 0.7 2.846 2.87932 3.40387
0.3 0.8 2.311 2.35095 3.20507
0.3 0.9 1.625 1.66237 3.01835
0.4 0.4 3.778 3.76991 3.76991
0.4 0.5 3.445 3.44144 3.47326
0.4 0.6 3.073 3.07812 3.20507
0.4 0.7 2.653 2.66573 2.95844
0.4 0.8 2.157 2.17656 2.72888
0.4 0.9 1.518 1.53906 2.51327
0.5 0.5 3.147 3.14159 3.14159
0.5 0.6 2.812 2.80993 2.84174
0.5 0.7 2.431 2.43347 2.56600
0.5 0.8 1.979 1.98692 2.30935
0.5 0.9 1.395 1.40496 2.06830
0.6 0.6 2.517 2.51327 2.51327
0.6 0.7 2.178 2.17656 2.21122
0.6 0.8 1.776 1.77715 1.93007
0.6 0.9 1.253 1.25664 1.66601
0.7 0.7 1.887 1.88496 1.88496
0.7 0.8 1.540 1.53906 1.58128
0.7 0.9 1.087 1.08828 1.29606
0.8 0.8 1.258 1.25664 1.25664
0.8 0.9 0.889 0.88858 0.95173
0.9 0.9 0.629 0.62832 0.62832
Как видите, формула 2π√(1–cos α)√(1–cos β) даже в крайних ситуациях (cos α = 0.1, сos β = 0.9, т. е. α = 84˚, β = 26˚) даёт ошибку не больше 5%, при углах же менее 60˚ ошибка не более 1%. Для формулы 2π [1–√(cos α • cos β)] расхождения значительные.
P.S. Рассматривая таблицу следует помнить, что численное интегрирование в данном варианте имеет ошибку в третьем-четвёртом знаках.
const N=1000;
var
A,B,d,dx,dy,f,x,y,ri,yi,df,ca,cb: double;
i,j,m,k,jmax: integer;
begin
for m:=1 to 9 do begin
for k:=m to 9 do begin
ca:=m*0.1;
cb:=k*0.1;
f:=0;
d:=ca;
a:=d*sqrt(1-ca*ca)/ca;
b:=d*sqrt(1-cb*cb)/cb;
dx:=a/N;
dy:=b/N;
for i:=0 to N-1 do begin
x:=i*dx;
yi:=b*sqrt(a*a-x*x)/a;
for j:=0 to N-1 do begin
y:=j*dy;
if y>yi then break;
ri:=sqrt(d*d+x*x+y*y);
df:=dx*dy*d/ri/ri/ri;
f:=f+df;
end;
end;
writeln(ca:4:1,cb:4:1,f*4:8:3,2*pi*sqrt((1-ca)*(1-cb)):8:5,2*pi*(1-sqrt(ca*cb)):8:5);
end;
end;
end.