sin суммы

Ответ от ? ? ? Звездочка Ясная Я? ? ?[гуру]
Будем опираться на следующие формулы: Основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1 Определение тангенса: Определение котангенса: Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb-sinasinb Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей: Синус разности: sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb-cosasinb Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)-sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов: Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-sinasina = cos2a-sin2a Аналогично получаются и формулы других кратных углов: Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos2a-sin2a)sina = 2sinacos2a+sinacos2a-sin3a = 3sinacos2a-sin3a = 3sina(1-sin2a)-sin3a = 3sina-4sin3a Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-sin2asina = (cos2a-sin2a)cosa-(2sinacosa)sina = cos3a-sin2acosa-2sin2acosa = cos3a-3sin2acosa = cos3a-3(1-cos2a)cosa = 4cos3a-3cosa Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу. Дано: угол - острый. Найти его косинус, если Решение, данное одним учеником: Т. к. , то sina = 3,а cosa = 4. (Из математического юмора) Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1 и разделим его на cos2a. Получим: Связь тангенса и косинуса: Так что решением этой задачи будет: (Т. к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +) Аналогично получаем связь котангенса и синуса: Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так: Формула тангенса суммы: . Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим: Сразу выводится и Формула тангенса двойного угла: Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла: cos2a = cos2a-sin2a прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т. е. сумму квадратов синуса и косинуса. cos2a+1 = cos2a-sin2a+cos2a+sin2a 2cos2a = cos2a+1 Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем: Косинус половинного угла: Знак берётся в зависимости от квадранта. Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получим: cos2a-1 = cos2a-sin2a-cos2a-sin2a 2sin2a = 1-cos2a Cинус половинного угла: И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b. Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому Представление суммы синусов в виде произведения: Сразу же можно вывести Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b)) Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.