сфера вписанная в пирамиду
Автор Anya Polonskaya задал вопрос в разделе Домашние задания
Задача (сфера,вписанная в пирамиду) и получил лучший ответ
Ответ от * *[гуру]
Ответ. r=(sqrt 21-sqrt 3)/6Пирамида SABCD, угол SAD=60, треугольник SAD – равносторонний, AD=2, высота пирамиды равна SH = 2*sqrt3 /2= sqrt 3.Проведем N и K – середины AB и СD. Радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник NSK.NK=AB=AD/sqrt 2=sqrt 2NH=sqrt 2/2tg SNH=SH/NH=sqrt 6cos^2 SNH = 1/(1+tg ^2 SNH)=1/sqrt 7.О – центр сферы, лежит на высоте SH и биссектрисе угла SNH, r=OH=NH*tg ONH= NH*tg (SNH/2)cos^2 (SNH/2)=(1+cos SNH)/2=(1+sqrt 7)/(2sqrt 7)1+tg^2(SNH/2)=1/cos^2(SNH/2)=2sqrt 7/(1+sqrt 7)tg^2(SNH/2)=(sqrt 7-1)/(1+sqrt 7)=(sqrt 7-1)^2/6r=(sqrt 7-1)/sqrt 12=(sqrt 7-1)/(2sqrt3)=(sqrt 21-sqrt 3)/6