фактор множество
Автор Подруга Доктора задал вопрос в разделе Прочее образование
Про бинарные отношения и получил лучший ответ
Ответ от Анюта[гуру]
для того чтобы доказать что это отношение эквивалентности нужно доказать, что
1) это отношение рефлексивно
это очевидно
а p a - это верно, само с собой число а находится в этом отношении (последние цифры совпадают)
2) это отношение симметрично
если а р b, то и b p a. это тоже верно. если у а и b последние цифры совпадают, то и у b и a тоже совпадают
3) это отношение транзитивно
если а р b, b р c, то и a p c
это тоже верно, ведь если у а и b совпадают последние цифры, и у b и c тоже, значит и у а и с совпадают.
всего классов эквивалетности, то есть элементов в фактор-множестве N/p, 10 штук. Ведь последней цифрой может быть цифра от 0 до 9. Любое натуральное число очевидно попадет в один из этих 10 классов
дада
Милочка, ты издеваешься или серьезно спрашиваешь???))
Бинарные отношения (отношения степени 2)
В математике большую роль играют бинарные отношения, т. е. отношения, заданные на декартовом произведении двух множеств .
Отношение эквивалентности
Определение 8. Отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:
для всех (рефлексивность)
Если, то (симметричность)
Если и, то (транзитивность)
Обычно отношение эквивалентности обозначают знаком или и говорят, что оно (отношение) задано на множестве (а не на ). Условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:
для всех (рефлексивность)
Если, то (симметричность)
Если и, то (транзитивность)
Легко доказывается, что если на множестве задано отношение эквивалентности, то множество разбивается на взаимно непересекающиеся подмножества, состоящие из эквивалентных друг другу элементов (классы эквивалентности) .
Пример 1. Рассмотрим на множестве вещественных чисел отношение, заданное просто равенством чисел. Предикат такого отношения:
, или просто
Условия 1-3, очевидно, выполняются, поэтому данное отношение является отношением эквивалентности. Каждый класс эквивалентности этого отношения состоит из одного числа.
Пример 2. Рассмотрим более сложное отношение эквивалентности. На множестве целых чисел зададим отношение "равенство по модулю n" следующим образом: два числа и равны по модулю n, если их остатки при делении на n равны. Например, по модулю 5 равны числа 2, 7, 12 и т. д.
Условия 1-3 легко проверяются, поэтому равенство по модулю является отношением эквивалентности. Предикат этого отношения имеет вид:
Классы эквивалентности этого отношения состоят из чисел, дающих при делении на n одинаковые остатки. Таких классов ровно n:
[0] = {0, n, 2n, …}
[1] = {1, n+1, 2n+1, …}
…
[n-1] = {n-1, n+n-1, 2n+n-1, …}
Отношения порядка
Определение 9. Отношение на множестве называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:
для всех (рефлексивность)
Если и, то (антисимметричность)
Если и, то (транзитивность)
Обычно отношение порядка обозначают знаком . Если для двух элементов и выполняется, то говорят, что "предшествует" . Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:
для всех (рефлексивность)
Если и, то (антисимметричность)
Если и, то (транзитивность)
Пример 3. Простым примером отношения порядка является отношение, задаваемое обычным неравенством на множестве вещественных чисел . Заметим, что для любых чисел и выполняется либо, либо, т. е. любые два числа сравнимы между собой. Такие отношения называются отношениями полного порядка.
Предикат данного отношения есть просто утверждение .