Объем фигуры вращения
Автор @ALENKA@ задал вопрос в разделе Домашние задания
помогите!!!!Вычислить объем тела,образованного вращением вокруг оси координат фигуры, ограниченной линиями и получил лучший ответ
Ответ от Андрей Пилипенко[эксперт]
Строим декартову систему координат на плоскости хОу
На ней строим график x^2/25+y^2/16=1
Это эллипс с центром в точке (0;0) проходящий через точки (5;0) (-5;0) (0;4) и (0;-4).
Строим график у=2
Это прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;2)
Пространство выше этой прямой, ограниченное эллипсом, заштрихуем. Это как раз та фигура, которая вращается вокруг оси Ох.
Чтобы найти объём тела вращения, надо знать точки пересечения функций
Подставим в первое уравнение у=2
x^2/25+2^2/16=1
x^2/25=3/4
x^2=25*3/4
х1=+5/2*корень из 3
х2= - 5/2*корень из 3
Это и есть пределы для интеграла.
Выразим у из первого уравнения
у=4(корень из (1-х^2/25) )
V1=16П * интеграл от х1 до х2 (1-х^2/25)
Реши интеграл.
V2 - объём цилиндра радиуса 2 и высотой 5*корень из 3
Найди объём по известной формуле.
V=V1-V2
Это ответ.
В общем случае объем тела вращения вычисляется по такой формуле:
V = Pi I(от a до b)F^2(x)dx
Но тут речь идет о криволинейной трапеции, вращающейся около оси ОХ, но ничем не ограниченной снизу кроми оси координат. В вашем случае вам необходимо вычислить разность интегралов для верхней части кривой и ограничиваюшей линии. Т. е. фактически из полного объема вычислить объем цилиндра. (это так - напальцах)