нормальное уравнение плоскости

Ответ от Ёергей Елисеенко[новичек]
Уравнение плоскости. Полное и неполные уравнения плоскости.
Всякая плоскость в пространстве, снабженном декартовой системой координат, есть множество вех точек, удовлетворяющих некоторому линейному уравнению вида:
(1)
Обратно, множество всех точек, являющихся решениями произвольного уравнения (1), есть плоскость.
(1) – общее уравнение плоскости.
Пусть точка лежит в плоскости (1), тогда выполняется равенство: (2)
Вычтем (2) из (1):
Следовательно, векторы и ортогональны. Таким образом, вектор является нормалью к плоскости (1) и называется нормальным вектором плоскости.
Неполные уравнения плоскости:
А) - уравнение плоскости, проходящей через начало координат;
Б) - уравнение плоскости, параллельной оси ;
В) - уравнение плоскости, параллельной оси ;
Г) - уравнение плоскости, параллельной оси ;
Д) - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости ;
Е) - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости ;
Ж) - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости .
2. Частные случаи уравнения плоскости.
Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую – ни будь ее точку и два произвольных приложенных к этой точке неколлинеарных вектора:
и .
Прилагая векторы и к точке, получим всевозможные закрепленные векторы вида, где - произвольные вещественные числа; концы этих векторов и заполняют плоскость, проходящую через точку и два приложенных к ней вектора .
В координатной форме уравнение (3) записывается так:
(4)
(4) – параметрическое уравнение плоскости.
Уравнение (4) выражают линейную зависимость столбцов матрицы
Что эквивалентно равенству:
(5)
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: ; ; .
Решение. Искомая плоскость содержит точку и неколлинеарные векторы:
и, следовательно, ее уравнение можно записать в виде (5):
Если все коэффициенты уравнения (1) отличны от нуля, тогда его можно записать в виде:
Или
(6)
Где ; ; .
(6) – уравнение плоскости в отрезках, т. к. числа - алгебраические значения отрезков, отсеченных плоскостью (1) на осях координат.
3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть дана плоскость. Проведем через начало координат прямую, будем называть эту прямую нормалью; точка - пересечение плоскости и нормали. Обозначим через углы, которые составляет вектор с осями координат;. Выведем уравнение плоскости, считая известными. Для этого возьмем на плоскости произвольную точку, тогда, отсяда
Или
(7)
(7) – нормальное уравнение плоскости.
Теорема. Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:
Доказательство. Спроектируем точку на нормаль ; - ее проекция, тогда или, но ; , следовательно,
Теорема доказана.
Если плотность задана общим уравнением (1), то расстояние от точки до этой плоскости находится по формуле:
4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
Пусть в пространстве даны две плоскости и :
Соответствующие им векторы нормали имеют вид
,
Плоскости в пространстве могут быть параллельны, совпадать, перпендикулярны и, наконец, пересекаться под произвольным углом.
Рассмотрим эти случаи.
А) Плоскости и параллельны, следовательно, , т. е. .
Б) Плоскости и совпадают, следовательно, уравнения, их описывающие, эквивалентны, т. е. .
В) Плоскости пересекаются под прямым углом, тогда и, т. е. .
Г) Плоскости пересекаются под произвольным углом; найдем этот угол. За угол между плоскостями принимается угол между любыми двумя перпендикулярными к ним векторами, следовательно, это будет угол между нормалями и, а его можно вычислить по формуле:
Пример. Найти угол между плоскостями ,
Решение.
, .