Автор Лейла Решетникова задал вопрос в разделе Домашние задания
помогите решить уравнение! log2x (0.25) меньше или равно log2 (32x) -1 и получил лучший ответ
Ответ от Наталия Тузина[гуру]
Решение:
log(2x) 0,25 =< log(2) 32x -1
ОДЗ: х не= 0
Преобразуем логарифмы:
1) log(2x) 0,25 =
log(2x) [1/4] = log(2x) [2^(-2)] = (-2) * log(2x) [2] = (-2) / log(2) [2x] =
= (-2) / [log(2) 2 + log(2) x] =
= (-2) / [1 + log(2) x]
2) log(2) 32x =
= log(2) 32 + log(2) x = log(2) 2^5 + log(2) x = 5 + log(2) x
В исходное неравенство:
(-2) / [1 + log(2) x] =< 5 + log(2) x - 1
-2 =< [4 + log(2) x ] * [1 + log(2) x]
-2 =< 4 + log(2) x + 4*log(2) x + log^2 (2) x
log^2 (2) x + 5*log(2) x + 6 >= 0
log(2) x = t
t^2 + 5t + 6 >= 0
t^2 + 5t + 6 = 0 => t1 = -3 и t2 = -2 =>
(t + 3)(t + 2) >= 0
1) если (t + 3) >=0, то и (t + 2) >= 0 или
t >= -3 и t >= -2 =>
t >= -2 и =>
log(2) x >= -2
2^(-2) =< x или x >= 1/4
2) если (t + 3) =<0, то и (t + 2) =< 0 или
t =< -3 и t =< -2 =>
t =< -3 и =>
log(2) x =< -3
2^(-3) >= x или x =< 1/8
Ответ: (-бесконечность) =< x =< 1/8 и 1/4 =< x =< (+бесконечность)
У Дамира решение неверно) :
логарифм опускаем: 1/4 <= 1/32х 32х <= 4 x <= 4/32 x <= 1/8 наверное так