Как вычислять корень
Автор Niello Justice задал вопрос в разделе Естественные науки
Как вычислить квадратный корень из числа не используя калькулятор, таблицу и не методом тыка? и получил лучший ответ
Ответ от The visitor from the past[гуру]
Смотрите рисунок. Удачи и успехов!!!
Ответ от Mikhail Levin[гуру]
метод касательных - самый быстрый.
а где твоя гениальная формула?
сдается мне, брехло ты собачье
метод касательных - самый быстрый.
а где твоя гениальная формула?
сдается мне, брехло ты собачье
Ответ от Excelsior[гуру]
Есть очень простой способ извлечения корней, который работает даже и не только для квадратного корня. Объясню на примере.
Скажем, мы хотим вычислить квадратный корень из 28.
Выберем первое приближение "навскидку", скажем, а1 = 5. Проверим, насколько хорошо получилось. Разделим 28 на а0. Если бы мы "угадали" точно, то после деления у нас снова получилось бы а1, но на самом деле получается 28 / а1 = 28 / 5 = 5.6.
В качестве второго приближения возьмем а2 = (а1 + 5.6) / 2 = 5.3. Снова проверим: 28 / а2 = 28 / 5.3 = 5.283... Точность, как видите, очень резко возросла.
В качестве третьего приближения возьмем а3 = (а2 + 5.283...) / 2 = 5.2915... Проверим: 28 / 5.2915... = 5.291498... Такая точность уже должна устроить всякого, кто считает руками 🙂 . Но при желании можно продолжить и выбрать в качестве четвертого приближения а4 = (а3 + 5.291498...) / 2, и т. д.
Эта рекурсивная процедура, как видите, очень быстро "сходится". Еще одно приятное достоинство ее в том, что на каждом шаге вы знаете, между какими двумя числами находится "настоящий" ответ, так что у Вас автоматически имеется информация о том, какой точности вы уже достигли.
Есть очень простой способ извлечения корней, который работает даже и не только для квадратного корня. Объясню на примере.
Скажем, мы хотим вычислить квадратный корень из 28.
Выберем первое приближение "навскидку", скажем, а1 = 5. Проверим, насколько хорошо получилось. Разделим 28 на а0. Если бы мы "угадали" точно, то после деления у нас снова получилось бы а1, но на самом деле получается 28 / а1 = 28 / 5 = 5.6.
В качестве второго приближения возьмем а2 = (а1 + 5.6) / 2 = 5.3. Снова проверим: 28 / а2 = 28 / 5.3 = 5.283... Точность, как видите, очень резко возросла.
В качестве третьего приближения возьмем а3 = (а2 + 5.283...) / 2 = 5.2915... Проверим: 28 / 5.2915... = 5.291498... Такая точность уже должна устроить всякого, кто считает руками 🙂 . Но при желании можно продолжить и выбрать в качестве четвертого приближения а4 = (а3 + 5.291498...) / 2, и т. д.
Эта рекурсивная процедура, как видите, очень быстро "сходится". Еще одно приятное достоинство ее в том, что на каждом шаге вы знаете, между какими двумя числами находится "настоящий" ответ, так что у Вас автоматически имеется информация о том, какой точности вы уже достигли.
Ответ от Инженер-констриктор[гуру]
Достаточно найти хорошее первое приближение.
Например, корень из 89.
Ближайший квадрат: 81=9*9
Выбираем 9 как первое приближение (с недостатком) .
Делим 89/9 = 9,(8) (с избытком) .
Находим среднее значение (9+9,(8))/2 = 9,(4) - оно уже более точное, чем оба первых.
Делим 89/9,(4) = 9,4235294...
Среднее - 9,434
И т. д.
Корень из 89 = 9,4339811320566038113206603776226
Достаточно найти хорошее первое приближение.
Например, корень из 89.
Ближайший квадрат: 81=9*9
Выбираем 9 как первое приближение (с недостатком) .
Делим 89/9 = 9,(8) (с избытком) .
Находим среднее значение (9+9,(8))/2 = 9,(4) - оно уже более точное, чем оба первых.
Делим 89/9,(4) = 9,4235294...
Среднее - 9,434
И т. д.
Корень из 89 = 9,4339811320566038113206603776226
Ответ от Natalia Oreiro[гуру]
Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа m, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.
1. Разобьем число m на грани (справа налево, начиная с последней цифры) , включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует учесть, что если m состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число m состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.
2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра результата.
3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число A. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую наибольшую цифру x, чтобы произведение числа (запись означает 10 * a + x) на x не превосходило числа А. Цифра x — вторая цифра результата.
4. Произведение числа на x вычтем из числа A, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число B. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую наибольшую цифру y, чтобы произведение числа на y не превосходило числа B. Цифра y — третья цифра результата.
Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань.
Пример. Вычислить .
Решение. Разобьем число на грани: 13'83'84 — их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как 32 < 13, тогда как 42 > 13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим A = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим a = 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру x, чтобы произведение двузначного числа на x было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как 67 * 7 = 469 — это меньше 483, тогда как 68 * 8 = 544 — это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7.
Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим b = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 37, получим B = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру y, чтобы произведение трехзначного числа на y не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как 742 * 2 = 1484. Цифра 2 — последняя цифра результата. В ответе получили 372.
Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность
Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа m, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.
1. Разобьем число m на грани (справа налево, начиная с последней цифры) , включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует учесть, что если m состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число m состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.
2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра результата.
3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число A. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую наибольшую цифру x, чтобы произведение числа (запись означает 10 * a + x) на x не превосходило числа А. Цифра x — вторая цифра результата.
4. Произведение числа на x вычтем из числа A, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число B. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую наибольшую цифру y, чтобы произведение числа на y не превосходило числа B. Цифра y — третья цифра результата.
Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань.
Пример. Вычислить .
Решение. Разобьем число на грани: 13'83'84 — их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как 32 < 13, тогда как 42 > 13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим A = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим a = 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру x, чтобы произведение двузначного числа на x было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как 67 * 7 = 469 — это меньше 483, тогда как 68 * 8 = 544 — это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7.
Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим b = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 37, получим B = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру y, чтобы произведение трехзначного числа на y не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как 742 * 2 = 1484. Цифра 2 — последняя цифра результата. В ответе получили 372.
Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность
Ответ от Krab Bark[гуру]
На бумаге. Метод похож на деление. Но не думаю, чтобы кто-то в реальности стал его использовать, так же как и считать на счетах.
Посмотри, например,
На бумаге. Метод похож на деление. Но не думаю, чтобы кто-то в реальности стал его использовать, так же как и считать на счетах.
Посмотри, например,
Ответ от &Ъ[гуру]
Раньше в средних классах школы изучали способ извлечения квадратного корня столбиком.
В старых учебниках алгебры и справочниках по элементарной математике примерно до 1960 года можно найти этот алгоритм извлечения квадратного корня.
Деление столбиком основано на представлении произведения
( a + b ) ( d + e ) = ad + bd + ae + be
а извлечение квадратного корня из многозначных чисел на формуле
( a + b + c )^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2
извлечение кв. корня на бумаге чем-то похоже на деление столбиком.
В квадратном корне в два раза меньше цифр, чем в исходном числе. Поэтому число, из которого извлекают корень, делят на группы по 2 цифры справа налево. При делении к последовательным остаткам последовательно добавляются новые цифры делимого и находится новая цифра частного. При извлечении корня по мере нахождения цифр результата к остаткам приписываются группы из 2 цифр, и каждая следующая группа позволяет определить одну следующую цифру корня.
Например, если нужно извлечь корень из 4389, получаются две группы: 43'89
Первую цифру корня A угадываем, чтобы квадрат цифры был чуть меньше первой (старшей) группы цифр. В нашем случае это может быть 6 ( 6x6=36). К "остатку" ( в нашем случае 7 ) приписываем следующую группу цифр:
43'89 [__6
36
-----
_7'89
остальные цифры b и новые остатки находим из 2Ab + b^2 = (2A+ b) b:
Уже найденные цифры корня умножаем на 2 и находим такую цифру b чтобы число ( 20 A + b )*b было чуть меньше остатка.
Т. е в нашем случае число 12x (x-незвестная цифра) при умножении на x должно дать что-то около 789. Снова подходит 6 ( 126*6 = 756 ) а новый остаток = 33
43'89 [__66,xxxxx
36
-----
_7'89
_756
____
___33,00
Если нужны знаки после запятой, можно сносить группы из 00, так же как при делении мы приписываем столько 0, сколько нужно для обеспечения точности.
Примерно так. Если нужны подробности, постараюсь найти более связное изложение извлечения корня в столбик.
Раньше в средних классах школы изучали способ извлечения квадратного корня столбиком.
В старых учебниках алгебры и справочниках по элементарной математике примерно до 1960 года можно найти этот алгоритм извлечения квадратного корня.
Деление столбиком основано на представлении произведения
( a + b ) ( d + e ) = ad + bd + ae + be
а извлечение квадратного корня из многозначных чисел на формуле
( a + b + c )^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2
извлечение кв. корня на бумаге чем-то похоже на деление столбиком.
В квадратном корне в два раза меньше цифр, чем в исходном числе. Поэтому число, из которого извлекают корень, делят на группы по 2 цифры справа налево. При делении к последовательным остаткам последовательно добавляются новые цифры делимого и находится новая цифра частного. При извлечении корня по мере нахождения цифр результата к остаткам приписываются группы из 2 цифр, и каждая следующая группа позволяет определить одну следующую цифру корня.
Например, если нужно извлечь корень из 4389, получаются две группы: 43'89
Первую цифру корня A угадываем, чтобы квадрат цифры был чуть меньше первой (старшей) группы цифр. В нашем случае это может быть 6 ( 6x6=36). К "остатку" ( в нашем случае 7 ) приписываем следующую группу цифр:
43'89 [__6
36
-----
_7'89
остальные цифры b и новые остатки находим из 2Ab + b^2 = (2A+ b) b:
Уже найденные цифры корня умножаем на 2 и находим такую цифру b чтобы число ( 20 A + b )*b было чуть меньше остатка.
Т. е в нашем случае число 12x (x-незвестная цифра) при умножении на x должно дать что-то около 789. Снова подходит 6 ( 126*6 = 756 ) а новый остаток = 33
43'89 [__66,xxxxx
36
-----
_7'89
_756
____
___33,00
Если нужны знаки после запятой, можно сносить группы из 00, так же как при делении мы приписываем столько 0, сколько нужно для обеспечения точности.
Примерно так. Если нужны подробности, постараюсь найти более связное изложение извлечения корня в столбик.
Ответ от 22 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Как вычислить квадратный корень из числа не используя калькулятор, таблицу и не методом тыка?