криволинейный интеграл 2 рода свойства

Ответ от
Введение
1. Формула Грина и её доказательство
2. Формула Грина в векторной форме.
3. Вывод формулы Грина из формулы Стокса
4. Применение формулы Грина
Заключение
Список использованной литературы:
Введение
Джордж Грин (George Green, 1793 - 1841) - английский математик и физик, самостоятельно изучил математику и лишь в 1837 окончил Кембриджский университет. Он ввел понятие и термин потенциала, Опираясь на найденное им соотношение между интегралом по объему и интегралом по поверхности, ограничивающей этот объем (формула Грина), развил теорию электричества и магнетизма. Простейшая из них связывает двойной интеграл по области с криволинейным интегралом по границе области. Эта формула была известна еще Л. Эйлеру (1771 г.).
Актуальность исследования: в ходе выполнения курсовой работы, могу отметить, что формула Грина применяется в решении разных задач, не только в математике, но и физике. К сожалению, в учебном курсе формуле Грина отводится не много времени.
Проблема исследования: применение формулы Грина к решению задач.
Объект исследования: Формула Грина.
Предмет исследования: задачи решаемые с помощью формулы Грина.
Цель курсовой работы: ознакомится с теоретическими сведениями по теме «Формула Грина», рассмотреть её применение в решение задач на примерах.
Основные задачи исследования:
1.Выполнить анализ литературы по теме исследования.
2.Выделить основные теоретические понятия, используемые в работе.
.Привести теоремы и их доказательства по данной теме.
.Подобрать и решить задачи по данной теме.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
.Анализ учебной литературы по данной теме.
.Обобщение материала, найденного по теме исследования.
Практическая значимость Практическая значимость данной курсовой работы определяется тем, что подобранный материал может быть использован при изучении и применении формулы Грина.
Курсовая работа состоит из введения, 4 параграфов, списка задач, заключения и списка используемой литературы.
В списке используемой литературы - 6 наименований.
1. Формула Грина и её доказательство
Определение 1. Ориентация контура называется положительной, если при обходе (соответствующего возрастанию параметра) контура, область остается слева (такой обход обычно называется обходом контура против часовой стрелки), в противном случае - отрицательным.
Будем обозначать положительно ориентированный контур +, а отрицательно ориентированный - -
Формулу Грина докажем для простых областей .
Определение 2. Плоская область G называется простой относительно оси Оу, если её граница Г состоит из графиков двух непрерывных на функций, и, может быть, двух отрезков прямых .
Формулировка:
Пусть C - положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D - область, ограниченная кривой C. Если функции <#"46" src="doc_zip13.jpg" />, , то
На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая С замкнута.
Доказательство:
Формулу Грина докажем для простых областей D.
Пусть область D - криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении OY):
Для кривой C, ограничивающей область D зададим направление обхода по часовой стрелке.
Тогда:
Заметим, что оба полученных интеграла можно заменить криволинейными интегралами:
Интеграл по C1 берётся со знаком "минус", так как согласно ориентации контура C направление обхода данной части - от b до a.
Криволинейные интегралы по C2 и C4 будут равны нулю, так как :
Заменим в (1) интегралы согласно (2) и (3), а также прибавим (4) и (5), равные нулю и поэтому не влияющие на значение выражения: Так как обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательным направлением, то сумма интегралов в правой части является криволинейным интегралом по замкнутой кривой C в отрицательном направлении: