Автор Neu4 Lunniy задал вопрос в разделе Образование
что такое фредгольмовы операторы? и получил лучший ответ
Ответ от Антон Воробьев[новичек]
короче, из вышесказанного можно увидеть, что фредгольмов оператор в зависимости от множества, в котором он действует, различен.
Объясняя на пальцах, можно привести в пример наше обычное пространство С [a,b] (которое является гильбертовым в с предельной метрикой p(f,g) = max f(x) - g(x) ). C[a,b] - пространство непрерывных функций на отрезке [a,b].
Обычно Фредгольмовы операторы решают так называемые интегральные уравнения Фредгольма.
Например, вот интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:
Решением же его является функция непрерывная на [a,b]? Значит мы действительно имеем дело с пространством C[a,b]
Фрезгольмовым оператором в данном случае будет оператор
Af =
Это один из примеров реального использования Фредгольмового оператора. Далее, например, можно легко показать то, что он сжимающий и использовать теорему о сжатом отображении для поиска приближенного решения методом итераций данного интегрального уравнения.
Источник: мой мозг
Для меня это - лес очень темный. Вам, наверное, яснее.
Любой конечномерный оператор компактен. Вообще, класс компактных операторов является обобщением класса конечномерных операторов на бесконечномерные пространства. Множество компактных операторов с естественными операциями является замкнутым подпространством в пространстве ограниченных операторов. Оператор является компактным тогда и только тогда, когда он переводит единичный шар пространства X в предкомпактное множество. Тождественный оператор компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен. (Это следует из теоремы Рисса о единичных шарах) . Если T — компактный оператор, действующий из X в X, то оператор id − T (компактное возмущение тождественного оператора) — фредгольмов оператор индекса 0. Если T — компактный оператор, действующий из X в X, где X — гильбертово пространство, то он является пределом последовательности из конечномерных операторов (по операторной норме) , то есть гильбертовы пространства обладают свойством аппроксимации. Произвольные банаховы пространства таким свойством могут и не обладать, см. пример Энфло. Если T — компактный оператор между гильбертовыми пространствами, то имеет место теорема Шмидта. Все интегральные операторы, действующие в пространстве L2 на отрезке, компактны. Оператор, сопряжённый к компактному, компактен.