Производная показательной функции
Автор Йцукен задал вопрос в разделе Естественные науки
вывод формул производная показательной функции(a^x,e^x) и получил лучший ответ
Ответ от Nik[гуру]
Решение : Пусть y = u^v- общая показательная функция, где u и v – функции от переменной x, тогда прологарифмируем правую и левую части равенства, получим : lny = v *lnu, и возьмем производную, тогда получим : y’/y = v’*lnu + v*u’/u, отсюда y’= (v’*lnu + v*u’/u)*y = (v’*lnu + v*u’/u)* u^v= u^v *v’*lnu + v*u’*u^(v-1) (*) Рассмотрим функцию y= a^x, тогда используя обшую формулу для покательных функций (*), получим : Y’ = (a^x)’ = a^x * lna*(x)’ = x*a^(x-1) * (a)’ = a^x * lna, так как (x)’=1, (a)’= 0. Рассмотрим функцию y= e^x, тогда используя обшую формулу для покательных функций (*), получим : Y’ = (e^x)’ = e^x * lne+ x*e^(x-1) * (e)’ = e^x, lne=1, (e)’= 0. Ответ : = (a^x)’ = a^x * lna , (e^x)’ = e^x.
(e^x)'=lim[dx->0](e^(x+dx)-e^x)/dx=lim[dx->0]((e^x)(1-e^dx)/dx)=lim[dx->0](e^x(dx+o(dx))/dx)=e^x
Зачем спрашивать то, что можно посмотреть в любом учебнике математического анализа? Фихтенгольц, Зорич и т. д.