Автор Леонид Дружинин задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Помогите решить дифференциальное уравнение (xy' - 1) ln x = 2 y и получил лучший ответ
Ответ от Марина Васильевна[гуру]
Решение. (xy ‘-1)lnx=2y ; xy ‘-1=2y/lnx ; xy ‘-2y/lnx=1 ; линейное уравнение, замена; y=UV ; y ‘=U’V-V’U; подставляем в уравнение:
xU’V+xV’U-2UV/lnx=1; xU’V+U(xV’-2V/lnx)=1; уравнение равносильно двум: 1)xV-2V/lnx=0 ; 2)xU’V=1 ; решаем первое: 1)xV=2V/lnx; xdV/dx=2V/lnx ; dV/V=2dx/lnx; dV/V=2d(lnx)/lnx ; ∫dV/V= ∫2d(lnx)/lnx ;
lnV=2ln(lnx) ; lnV=ln(ln ²x) ; V=ln²x ; решаем втрое : 2) xU’ln²x=1 ; U’=1/xln²x ; dU/dx=1/xln²x ; dU=dx/xln²x ; dU=d(lnx)/ln²x ; ∫dU= ∫d(lnx)/ ln²x ; U=-1/lnx +C ; y=UV ; y=(-1/lnx+C) ln²x ; y=C ln²x-lnx-это ответ.
y=Clnx (во второй степени n) - lnx