Sin2x
Автор ..................... задал вопрос в разделе Домашние задания
Решите sin^2(x)+sin^2(5x)=1 Объясните как решить и получил лучший ответ
Ответ от Tania Tanechka[гуру]
Можно воспользоваться формулой понижения степени синуса sin^2(x)=(1-cos(2x))/2.
Тогда получим уравнение cos(2x)+cos(10x)=0.
По формуле сумма косинусов получаем:
2cos(6x)*cos(4x)=0
Ответ: х=П/12+Пn/6, х=П/8+Пm/4; n,mєZ.
Ответ от Мт[гуру]
sin^2(x) + sin^2(5x) = 1
sin(5x) = sin(4x+х) = sin(4х) cos(x) + cos(4x)sin(x)
sin^2(5x) = (sin(4х) cos(x) + cos(4x)sin(x))^2 =
= sin^2(4х) cos^2(x) + 2*sin(4х) cos(x)cos(4x)sin(x)+ cos^2(4x)sin^2(x) =
= sin^2(4х) cos^2(x) + (2*sin(x)cos(x))*sin(4х) cos(4x)+ cos^2(4x)sin^2(x) =
= sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x)+ cos^2(4x)sin^2(x)
sin^2(x) + sin^2(5x) = 1
sin^2(x) + sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 1
sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 1 - sin^2(x)
По основному тригонометрическому тождеству, меняем 1 - sin^2(x) на cos^2(x):
sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = cos^2(x)
sin^2(4х) cos^2(x) - cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 0
cos^2(x)*(sin^2(4х) - 1) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 0
cos^2(x)*(sin^2(4х) - 1) = - sin(2x)*sin(4х) cos(4x) - cos^2(4x)sin^2(x)
cos^2(x)*(1 - sin^2(4х)) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x)
По основному тригонометрическому тождеству, меняем 1 - sin^2(4х) на cos^2(4x):
cos^2(x)*cos^2(4x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x)
cos^2(x)*cos^2(4x) - cos^2(4x)sin^2(x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)
cos^2(4x)*(cos^2(x) - sin^2(x)) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)
Так как cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), то:
cos^2(4x)*cos(2x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)
cos(4x)*cos(2x) = sin(2x)*sin(4х)
cos(4x) = (sin(2x)/cos(2x))*sin(4х)
cos(4x) = tg(2x)*sin(4х)
1 = tg(2x)*(sin(4х) /cos(4x))
1 = tg(2x)*tg(4х)
tg(2x)*tg(4х) = 1
Так как tg(4х) = 2tg(2х) /(1-tg^2(2х)), то:
tg(2x)*( 2tg(2х) /(1-tg^2(2х) ) = 1
2tg^2(2х) /(1-tg^2(2х) ) = 1
2tg^2(2х) = 1 - tg^2(2х)
tg^2(2х) + 2*tg^2(2х) = 1
3*tg^2(2х) = 1
tg^2(2х) = 1/3
tg(2х) = V(1/3) = 1/V3 = (V3)/3
2x = arctg((V3)/3)
2x = П/6 + Пn
x = П/12 + (П/2)n
sin^2(x) + sin^2(5x) = 1
sin(5x) = sin(4x+х) = sin(4х) cos(x) + cos(4x)sin(x)
sin^2(5x) = (sin(4х) cos(x) + cos(4x)sin(x))^2 =
= sin^2(4х) cos^2(x) + 2*sin(4х) cos(x)cos(4x)sin(x)+ cos^2(4x)sin^2(x) =
= sin^2(4х) cos^2(x) + (2*sin(x)cos(x))*sin(4х) cos(4x)+ cos^2(4x)sin^2(x) =
= sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x)+ cos^2(4x)sin^2(x)
sin^2(x) + sin^2(5x) = 1
sin^2(x) + sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 1
sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 1 - sin^2(x)
По основному тригонометрическому тождеству, меняем 1 - sin^2(x) на cos^2(x):
sin^2(4х) cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = cos^2(x)
sin^2(4х) cos^2(x) - cos^2(x) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 0
cos^2(x)*(sin^2(4х) - 1) + sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x) = 0
cos^2(x)*(sin^2(4х) - 1) = - sin(2x)*sin(4х) cos(4x) - cos^2(4x)sin^2(x)
cos^2(x)*(1 - sin^2(4х)) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x)
По основному тригонометрическому тождеству, меняем 1 - sin^2(4х) на cos^2(4x):
cos^2(x)*cos^2(4x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x) + cos^2(4x)sin^2(x)
cos^2(x)*cos^2(4x) - cos^2(4x)sin^2(x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)
cos^2(4x)*(cos^2(x) - sin^2(x)) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)
Так как cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x), то:
cos^2(4x)*cos(2x) = sin(2x)*sin(4х) cos(4x)
cos(4x)*cos(2x) = sin(2x)*sin(4х)
cos(4x) = (sin(2x)/cos(2x))*sin(4х)
cos(4x) = tg(2x)*sin(4х)
1 = tg(2x)*(sin(4х) /cos(4x))
1 = tg(2x)*tg(4х)
tg(2x)*tg(4х) = 1
Так как tg(4х) = 2tg(2х) /(1-tg^2(2х)), то:
tg(2x)*( 2tg(2х) /(1-tg^2(2х) ) = 1
2tg^2(2х) /(1-tg^2(2х) ) = 1
2tg^2(2х) = 1 - tg^2(2х)
tg^2(2х) + 2*tg^2(2х) = 1
3*tg^2(2х) = 1
tg^2(2х) = 1/3
tg(2х) = V(1/3) = 1/V3 = (V3)/3
2x = arctg((V3)/3)
2x = П/6 + Пn
x = П/12 + (П/2)n
Ответ от Ѝдгар Зотиков[гуру]
sin^2(x)+sin^2(5x)=1 ---->sin^2(x)=1-sin^2(5x)=cos^2(5x) --->sin^2(x)/cos^2(5x)=1
---> (sinx/cos5x)^2=1 задача сводится к двум уравнениям
1) sin(x)/cos(5x)=1----> sinx=cos(5x)
2) sin(x)/cos(5x)=-1----> sinx=-cos(5x)
дальше сам
sin^2(x)+sin^2(5x)=1 ---->sin^2(x)=1-sin^2(5x)=cos^2(5x) --->sin^2(x)/cos^2(5x)=1
---> (sinx/cos5x)^2=1 задача сводится к двум уравнениям
1) sin(x)/cos(5x)=1----> sinx=cos(5x)
2) sin(x)/cos(5x)=-1----> sinx=-cos(5x)
дальше сам
Ответ от 22 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Решите sin^2(x)+sin^2(5x)=1 Объясните как решить