Автор Дарья задал вопрос в разделе Домашние задания
Неравенства с модулем. Подскажите. как они решаются. Можно на примере |2x-1|-|x-2|>=4 и получил лучший ответ
Ответ от Ѓинни[гуру]
Модуль всегда надо раскрывать, а для этого надо определить критические точки
2х-1=0
2х=1
х=1/2
х-2>=0
x=2
Итак, две критические точки, которые разбивают числовую прямую на три области
__1/2__2__
На каждой области надо решить отдельно.
1. (-бесконечность, 1/2)
2х-1<0
|2х-1|=-2х+1
х-2<0
|х-2|=-х+2
-2х+1-(-х+2)>=4
-2х+1+х-2>=4
-х>=5
х<=-5
Это решение (-бесконечность, -5) входит в наш интервал, значит является решением неравенства.
2. [1/2; 2)
2х-1>=0
|2х-1|=2х-1
х-2<0
|х-2|=-х+2
2х-1-(-х+2)>=4
2х-1+х-2>=4
3х>=7
х>=7/3
Это решение не входит в интервал [1/2; 2), поэтому решением не является.
3. [2; +бесконечность)
2х-1>=0
|2х-1|=2х-1
х-2>=0
|х-2|=х-2
2х-1-(х-2)>=4
2х-1-х+2>=4
х>=3
Данное решение входит в рассматриваемый интервал, поэтому является решение неравенства.
Итак, ответ: х<=-5 или х>=3
По сути методом интервалов. Находишь критические точки при котором выражение под модулем меняет знак и рассматриваешь каждый случай отдельно. Решением является совокупность решения всех случаев
Например, здесь рассматривайте вначале случай когда x <= 1/2. Модуль раскрывается так
-2x + 1 - ( -x + 2 ) >= 4
Решает данное неравенство и отбирает корни ТОЛЬКО удовлетворяющие условию x <= 1/2
Следующий промежуток будет x >= 1/2 и x<=2 ( т. е. система ) модули раскрываются так
2x - 1 - ( -x + 2 ) >= 4
Решаете, отбираете корни согласно условию x >= 1/2 и x<=2
И наконец самый последний и простейший случай, когда x>=2
2x - 1 - x + 2 >= 4
Также решаете и отбираете корни x >= 2
Решением всего уравнения будет объединение ( но не пересечение ) множеств всех ваших решений