задачи на построение

Ответ от
Задача 1. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Решение.
Пусть треугольник ABC построен и пусть AC = b, CB = a, CM = mc (рис. 1). Продлим медиану CM и отложим на луче CM отрезок MD = mc. Соединив точки D и A, D и B, получим параллелограмм ACBD, поскольку у четырехугольника ACBD диагонали точкой пересечения делятся пополам.
задачи на построениеСледовательно, BD = b и у треугольника CDB известны все стороны.
Отсюда следует построение. Именно, строим треугольник CDB по трем сторонам CB = a, BD = b, CD = 2mc. Через точку D проводим прямую, параллельную BC, а через точку C – прямую, параллельную BD. Эти прямые пересекутся в точке A. Искомый треугольник ABC – построен.
Задача 2. На координатной оси построить точку A(√7).
Решение.
Воспользуемся известным методом построения среднего геометрического двух отрезков a и b: на прямой откладывают отрезок AB = a и от его конца – отрезок BC = b. Затем на отрезке AC = a + b, как на диаметре, строят окружность и из точки B восстанавливают перпендикуляр к диаметру до пересечения с окружностью. Его длина и есть среднее геометрическое √ab (рис. 2).задачи на построение
Итак, построение точки A следующее: на координатной оси всегда задан отрезок длины 1 (рис. 3). Из начала O оси восстанавливаем перпендикуляр и на нем по разные стороны от точки O откладываем отрезки OC = 1 и OB = 7. На отрезке CB, как на диаметре, строим окружность, которая пересечет положительную полуось в точке A(√7), т. к. OA = √1 · 7 = √7.
Задача 3. Построить квадрат по разности диагонали и стороны.
Решение.
Пусть квадрат ABCD построен. На диагонали AC отложим отрезок AE = AD и соединим точки E и D, тогда в треугольнике ECD отрезок EC = a – данная разность диагонали и стороны, угол ECD равен 45° (рис. 4).
Треугольник EDA – равнобедренный, следовательно, угол AED = (180° – 45°)/2 = 90° – 45°/2, угол CED – смежный с углом AED, поэтому угол CED = 180° – (90° – 45°/2) = 90° + 45°/2.
задачи на построениеТаким образом, у треугольника ECD известны сторона EC = a и прилегающие к ней углы:
угол ECD = 45° и угол CED = 90° + 45°/2 = 112,5°.
Отсюда следует построение: строим треугольник ECD по стороне EC = a и прилегающим углам 45° и 112,5°. Через точку D проводим прямую перпендикулярно CD. Эта прямая пересечет прямую CE в точке A. Затем из точек C и A восстанавливаем перпендикуляры к прямым CD и AD соответственно. Они пересекутся в точке B. Квадрат ABCD построен.
Любые задачи на построение развивают поисковые навыки практических проблем, дают уникальный материал для творческого поиска путей решения с помощью смекалки и интуиции. Решение задач на построение развивает такие качества, как внимание, целеустремленность и настойчивость, изобретательность и трудолюбие.