Автор Artem Klementiev задал вопрос в разделе Домашние задания
Следует ли из дифференцируемости функции на отрезки выполнение условия Липшица на этом отрезке? и получил лучший ответ
Ответ от * *[гуру]
Выполнение условия Липшица следует из
дифференцируемости и ограниченности производной
Одной дифференцируемости недостаточно.
Из дифференцируемости функции на отрезки выполнение условия Липшица не следует.
Примером дифференцируемой функции, имеющей неограниченную производную
на отрезке [-1;1] может служить
f(x)=x^2*sin (1/x^3) при x, не равном 0,
f(0)=0
Производная при х=0 считается по определению и равна 0.
delta f/ delta x=delta x*sin(1/(delta x)^3 -- > 0
как произведение бесконечно малой на ограниченную.
f'(0)=0
При х, не равном 0
f'(x)=2x*sin(1/x)-3*cos(1/x^3)/x
В точках вида x_n=1/(2pin) -- > 0
f'(x_n)=-6pin - неограниченна.
Ясно, что т. к. эта функция имеет неограниченную производную на отрезке [-1;1] , то условию Липшица она не удовлетворяет.