Автор Костя Сусский задал вопрос в разделе Домашние задания
Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. и получил лучший ответ
Ответ от Илья Половников[гуру]
Периметр правильного многоугольника стремится к длине описанной окружности, но никогда её не достигнет. И действительно, если взять единичную окружность и начать вписывать в неё многоугольники, мы заметим, что с увеличением количества углов периметр закономерно увеличивается, но это значение никогда не превысит длину описанной окружности.
Ответ от Александр контиллев[новичек]
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон. Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.
Свойства правильного многоугольника.
Теорема 9.4.
Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают.
Доказательство
Пусть A и B – две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B. Пусть O – точка их пересечения. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB и углами при основании, равными α / 2, где α – градусная мера угла многоугольника. Соединим точку O с вершиной C, соседней с B. Треугольники AOB и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1), так как AB = BC, OB – общая сторона, OBC = α / 2 = OBA. Отсюда имеем OC = OB = OA. OCB = α / 2. Так как C = α, то CO – биссектриса угла C. Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона – сторона многоугольника, а противолежащая вершина – точка O, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на основания. Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O. Теорема доказана.
1
Рисунок 9.3.1.
К теореме 9.4
Следствие 9.2.
Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей.
Теорема 9.5.
Сторона правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой
Доказательство
Из Δ AOB что и требовалось доказать.
2
Рисунок 9.3.2.
К теореме 9.5
Следствие 9.3.
Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон. Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.
Свойства правильного многоугольника.
Теорема 9.4.
Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают.
Доказательство
Пусть A и B – две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B. Пусть O – точка их пересечения. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB и углами при основании, равными α / 2, где α – градусная мера угла многоугольника. Соединим точку O с вершиной C, соседней с B. Треугольники AOB и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1), так как AB = BC, OB – общая сторона, OBC = α / 2 = OBA. Отсюда имеем OC = OB = OA. OCB = α / 2. Так как C = α, то CO – биссектриса угла C. Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона – сторона многоугольника, а противолежащая вершина – точка O, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на основания. Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O. Теорема доказана.
1
Рисунок 9.3.1.
К теореме 9.4
Следствие 9.2.
Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей.
Теорема 9.5.
Сторона правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой
Доказательство
Из Δ AOB что и требовалось доказать.
2
Рисунок 9.3.2.
К теореме 9.5
Следствие 9.3.
Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей
Ответ от 22 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.