сторона правильного пятиугольника равна 6 sin 36

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
1. ОТВЕТ: сторона правильного пятиугольника равна 6√(5 − √5) ≈ 9,98 (см)

Как видно из рисунка, сторона правильного пятиугольника равна l = 12√2 sin 36° (см)
Основная задача — посчитать синус угла в 36°
Чтобы сделать это, воспользуемся формулой синуса пятикратного угла (можно взять из справочника, можно вывести самостоятельно, последовательно применяя формулу синуса суммы — здесь я этого делать не буду из экономии места и времени) :
sin(5x) = sin x (5 − 20 sin²x + 16 (sin²x)²).
В случае x=36°: sin(5*36°) = sin 180° = 0.
Обозначим sin²36°≡y; тогда (учитывая, что y≠0):
16y² − 20y + 5 = 0.
Это квадратное уравнение имеет два положительных решения; нас интересует меньшее, так как на отрезке от 0° до 90° синус возрастает; а второй корень будет соответствовать углу
360°/5 = 72°.
Итак, y = (10 − 2√5)/16;
отсюда sin 36° = √(10 − 2√5)/4
(берём положительное значение корня, поскольку sin 36° > 0).
Тогда l = 12√2 * √(10 − 2√5)/4 = 6√(5 − √5) ≈ 9,98 (см) .
==================================================================
2. ОТВЕТ: (4/3)(2π − 3√3) ≈ 1,449 (см²)

Поскольку угол равен 60° то треугольник равносторонний ⇒ радиус окружности R равен 4 см.
Площадь сектора равна
S1 = πR² * (60°/360°) = 16π/6 = 8π/3; (см²)
площадь треугольника
S2 = R²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 (см²);
тогда искомая площадь сегмента равна
S = S1 − S2 = 8π/3 − 4√3 = (4/3)(2π − 3√3) ≈ 1,449 (см²)