разность логарифмов

Ответ от GALA[гуру]
Основные свойства логарифмов. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции: При любом а>0 (а≠ 1) и любых положительных х и у выполнены равенства: 1. loga1=0. 2. logaa=1. 3. logaxy =logax + logay. 4. loga отношение x к y =logax—logay. 5. loga xp=p loga x для любого действительного р. Для доказательства правила 3 воспользуемся основным логарифмическим тождеством: x=alogax, y=alogay. (1) Перемножая почленно эти равенства, получаем: xy=alogax * alogay= alogax + logay , т. е. xy= alogax+ logay . Следовательно, по определению логарифма loga(xy)=logax+ logay. Коротко говорят, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Правило 4 докажем вновь с помощью равенств (1): равенство следовательно, по определению равенство. Говорят, что логарифм частного равен разности логарифмов. Для доказательства правила 5 воспользуемся тождеством x=alogax, откуда хр = (alogax)p= ap logax. Следовательно, по определению loga xP = p loga x. Говорят, что логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания логарифма к другому основанию: равенство. (Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т. е. при x>0, а>0 и а≠1, b>0 и b≠1.) По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем: logb x = logb( alogax) откуда logb x = loga x* logb a Разделив обе части полученного равенства на logb a, приходим к нужной формуле. С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg).