формула герона для треугольника
Автор Arys задал вопрос в разделе Домашние задания
вывод формулы герона? помагите и получил лучший ответ
Ответ от Оксана харитонова[активный]
Формула Герона выражает площадь треугольника через длины трех его сторон.
Теорема (формула Герона) . Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению:
s= корень p(p-a)(p-b)(p-c)
Доказательство. Пусть O - центр вписанной в треугольник ABC окружности, r - ее радиус
Соединив центр O с вершинами A, B и C, получим треугольники AOC, BOC и AOB с высотами, равными r.
Согласно свойству площадей:
пл. треугольника ABC=пл. треугольника AOC+пл. треугольника AOB+пл. треугольника BOC=
= 1/2 b . r+1/2 c . r+1/2 a . r=r/2 (a+b+c)=p . r.
Выражая r через стороны треугольника a, b и с,
что и требовалось доказать.
корень из р (р-а) (р-в) (р-с)
где р -полупериметр
а, в, с -стороны
Рассмотрим треугольник АВС с высотой СН = h, опущенной из вершины С. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание S=1/2ch. Высоту можно выразить из прямоугольного треугольника АНС как h = bsina в случае острого угла a или как h = bsin(p-a) в случае тупого угла a.
к доказательству
В силу равенства sin(p-a) = sina в обоих случаях имеем h = bsina. Формула для площади треугольника примет вид
S=1/2ЧbЧcЧsina....(1)
Теорема 33. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.
Записав эту формулу и для других сторон, мы увидим, что вы из них вытекают следующие пропорции
теорема синусов.... (2)
выражающие следующую теорему.
Теорема 34. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Причем, последнее равенство взято (доказ. ) в теме описанная около треугольника окружность из теорем 40 и d6
Выведем теперь формулу Герона, дающую выражение площади треугольника через длины его сторон. Для этого из формулы теоремы косинусов выразим cosa, а из теоремы синусов sina:
теоремы синусов и косинусов
(3)
(4)
Вспомним главное тригонометрическое тождество. Возводя оба последних равенства в квадрат и складывая их почленно, получаем
выведение
И окончательно получаем
Теорема 35. Формула Герона. Площадь треугольника можно вычислить по следующей формуле:
формула Герона.... (5)
Отсюда получаются также формулы для высот треугольника:
формула для высот.... (6)
Достаточно, конечно, знать на память формулу Герона, так как выражения для высот получаются из неё немедленно.