Pi
Автор Наруто узумаки задал вопрос в разделе Домашние задания
что такое пи в математике? как решать пи и получил лучший ответ
Ответ от Raven_666@inbox.ru[гуру]
pi~ (произносится «пи» ) — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. [2] Обозначается буквой греческого алфавита «пи» .
Трансцендентность и иррациональность
* π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761[3] году путём разложения числа frac{e-1}{2^n} в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.
* π — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Транцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году. [4]
o Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
* В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа eπ.[5] В 1996 году Нестеренко (англ. ) доказал, что для любого натурального n числа π и e^{pisqrt n} алгебраически независимы, откуда, в частности, следует транцсендентность чисел π + eπ,πeπ и e^{pisqrt n}.[6][7]
Соотношения
Известно много формул числа π:
* Франсуа Виет:
frac2pi= frac{sqrt{2}}2cdot frac{sqrt{2+sqrt2}}2cdot frac{sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}2 cdot ldots
* Формула Валлиса:
frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdots = frac{pi}{2}
* Ряд Лейбница, первым найден Мадхавой из Сангамаграма в 1400[источник не указан 84 дня] :
frac{1}{1} - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} - cdots = frac{pi}{4}
* Тождество Эйлера:
e^{i pi} + 1 = 0;
* Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
intlimits_{-infty}^{+infty} e^{-x^2}{dx} = sqrt{pi}
* Интегральный синус:
intlimits_{-infty }^{+infty }{frac{sin x}{x}dx}=pi
* Выражение через полилогарифм (англ.): [8]
pi=sqrt{6ln^2 2+12 operatorname{Li}_2left(frac{1}{2}
ight)}
пи это 3,14
пи=3,14
Число Пи это длина окружности разделенная на диаметр
Пи=3,14
Пи (π) - буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение (вероятно, от греч. perijereia окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное число, π представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: π = 3,141592653589793238462643...
пи- это особое число которое есть в некоторых формулах
3.1415926
Пи это все натуральные числа... Но в учёбе это 3 и 14.
Это постоянное число и решать его не надо
Пи=3.14
Пи - это математическая постоянная равная 3,14
π (Пи) - приближённо равно = 3,14
Пи- это не число, пи это мышка говорит
Свойства
Трансцендентность и иррациональность
pi — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа pi была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году [3] путём разложения числа frac{e-1}{2^n} в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел pi и pi^2.
pi — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа pi была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году [4].
Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа pi, то доказательство трансцендентности pi положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа e^pi[5]. В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального n числа pi и e^{pisqrt n} алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел pi+e^pi,pi e^pi и e^{pisqrt n}[6][7].
pi является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли 1/pi к кольцу периодов.
Соотношения
Известно много формул для вычисления числа pi:
Формула Виета для приближения числа ? (англ.) русск.:
frac2pi=
frac{sqrt{2}}2cdot
frac{sqrt{2+sqrt2}}2cdot
frac{sqrt{2+sqrt{2+sqrt2}}}2 cdot ldots
Это первое известное явное представление pi с бесконечным числом операций. Применив тождество sin(2cdot heta)=2cdotsin hetacdotcos heta рекурсивно и перейдя к пределу, получим
phicdot cos fracphi2cdotcos fracphi4cdots = sin phi
остаётся подставить phi= fracpi2 и воспользоваться формулой для косинуса удвоенного угла.
Формула Валлиса:
frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdots = frac{pi}{2}
Ряд Лейбница:
frac{1}{1} - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} - cdots = frac{pi}{4}
Другие ряды:
egin{align}
pi &= frac12sum_{k=0}^{infty} frac1{16^k}left( frac8{8k+2} + frac4{8k+3} + frac4{8k+4} - frac1{8k+7}
ight)
&= frac14sum_{k=0}^{infty} frac1{16^k}left( frac8{8k+1} + frac8{8k+2} + frac4{8k+3} - frac2{8k+5} - frac2{8k+6} - frac1{8k+7}
ight)
&= ;;sum_{k=0}^{infty} frac{(-1)^k}{4^k}left( frac2{4k+1} + frac2{4k+2} + frac1{4k+3}
ight)
end{align}
pi=2 sqrt{3} sum limits_{k=0}^{infty}frac{(-1)^k}{, 3^k , (2k+1)}
Кратные ряды:
pi=8sumlimits_{k=1}^{infty}sumlimits_{m=1}^{infty}frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4sumlimits_{k=1}^{infty}sumlimits_{m=1}^{infty}frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=sqrt[4,,]{360 sum limits_{k=1}^{infty}sum limits_{m=1}^kfrac{1}{m(k+1)^3}}
Пределы:
pi=lim limits_{m
ightarrow infty }{frac { (m!)^{4},{2}^{4m}}{left[ (2m )!
ight] ^{2},m}}
pi= sqrt{frac{6}{lim limits_{n oinfty}prod limits_{k=1 atop p_k in mathbf{P}}^{n},left ( 1-frac{1}{p_{k}^2}
ight ) }}quad o здесь p_k , - простые числа
Тождество Эйлера:
e^{i pi} + 1 = 0;
Другие связи между константами:
frac{pi}{e}=2 prod limits_{k=1}^{infty}left (frac{2k+1}{2k-1}
ight )^{2k-1} left (frac{k}{k+1}
ight )^{2k}
pi cdot e = 6 prod limits_{k=1}^{infty}left ( frac{2k+3}{2k+1}
ight )^{2k+1} left (frac{k}{k+1}
ight )^{2k}
Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
intlimits_{-infty}^{+infty} e^{-x^2}{dx} = sqrt{pi}
Интегральный синус:
intlimits_{-infty }^{+infty }{frac{sin x}{x
Пи (?) - буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение (вероятно, от греч. perijereia окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное число, ? представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: ? = 3,141592653589793238462643...
1 Нравится Пожаловаться
дима овчинников 6 лет назад