Автор Konnova nada задал вопрос в разделе Естественные науки
вопрос про интеграл? почему мы заданную функцию воспринимает как производную и находим ее первообразную? и получил лучший ответ
Ответ от Владимир Павлек[гуру]
Попробую по пунктам внести ясность.. .
1. Интеграл вводится двумя способами: первообразная (или неопределенный интерграл) и определенный интеграл.
Первообразная это функция. Нахождение первообразной, по сути, это некоторая операция над данной функцией, обратная операции нахождения производной. То есть первообразная и производная это такая же пара, как сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня.
Можно от данной функции найти производную, а можно найти первообразную. И тогда наша данная функция является первообразной для своей производной, а с другой стороны она является производной для своей первообразной.
Определенный интеграл это число. Он определяется как предел интегральных сумм для данной функции на определенном отрезке. Вообще, исходя из определения, совсем неочевидно, что между первообразной и определенным интегралом должна быть какая-то связь. Но оказывается, что существует, теорема есть специальная, что определенный интеграл можно вычислять, как разность первообразных на концах отрезка. Вот этой теоремой вы и пользуетесь, когда вычисляете определенный интеграл.
2. Есть у определенного интеграла такое свойство, что он равен площади фигуры ограниченной графиком функции. Это даже не свойство, а прямое следствие его введения, как предела интегральных сумм.
3. Физический смысл производной - скорость изменение функции, но в том, что касается интегралов, площадей и т. д. , производную воспринимают абстрактно, как функцию с определенными свойствами.
Теперь посмотрим, что происходит, когда вы решаете задачу по нахождению площади под графиком функции.
Вам нужно найти определенный интеграл, на каком-то там отрезке. Он и будет равен площади. Значит задача сводится к нахождению определенного интеграла. Для его нахождения пользуемся связью определенного интеграла с первообразной. То есть нам нужно найти первообразную к нашей данной функции, допустим x^3. Ну а первообразная по определению это такая функция производная от которой равна нашей данной, то есть нужно найти такую функцию, производная от которой равна x^3, а это функция x^4 / 4.
Вот в принципе и все. Насколько я понял вас в этом рассуждении смущала путаница между интегралом и первообразной, но по сути это совершенно разные вещи - площадь под графиком и операция над функцией, обратная к взятию производной. Но между этими "совершенно разными вещами" существует очень четкая связь, которая и позволяет нам считать интегралы через первообразную.
А то, что производная это скорость изменения функция, в общем в данном рассуждении значения не имеет, вернее имеет, но более глубокое, просто благодаря этому и существует связь между первообразной и интегралом.
А что тебя в этом напрягает? Дифференцирование обратная функция интегрированию.
Посмотрите в учебнике определение интеграла и его геометрический смысл.
Есть строгое доказательство правильности этих преобразований, но оно достаточно сложное - нужно ли оно Вам. Если да - то открывайте учебник! Если же Вы только начали знакомиться с интегралом, то может Вам поможет знание символики:
Знак интеграла - это стилизованная S от слова сумма на лытыни. х в кубе - это понятно, а dx - знак дифференциала, т. е. бесконечно малого приращения переменной х. Получается, что интеграл - это сумма произведений значения функции в данной точке (у) на длину очень (бесконечно) маленького отрезка на оси х, то есть площадей очень узких стоячих прямоугольников с одной стороной равной dx и с другой стороной, равной значению функции по левой стороне прямоугольника. В сумме эти прямоугольники и дадут площадь фигуры с какой угодно точностью. Первоначально интеграл именно для этого и был придуман.
Для того чтобы определить площадь крив тропеции можно поступить 2 методами: численным он более наглядный и непосредственно интегрированием.
Численный метод позволяет найти искомую площадь без интегрирования (если допустим ну неможеш взять интеграл).. причём точность достаточно высокая. при этом как вариант ось х разбивается на участки чем их больше тем точнее . далее на каждом уч. вычисляют значение подынтегр. функции подставляя в нее соотв знач. х. далее знач функции умножается на длину участка от х1 до х2..итд.. получаеш площадь участка... и так двигаешся до конца накапливая площадь. (сумируя)
Непосредственно интегрир помогает найти такую функцию (выражение) подстановкой в которую твоих крайних значений икса а затем разность... помогает СРАЗУ определить площадь абсолютно точно