Автор Ольга Локтионова задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Найти область сходимости ряда и получил лучший ответ
Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Признак Даламбера (для абсолютной сходимости ряда) :
предел |a(n+1)/a(n)| при n--> infinity
должен быть меньше 1. Здесь |a(n+1)/a(n)| :
|x^(n+1)/x^n|*|tg(x/2^(n+1))/tg(x/2^n)|=|x|*A,
где A=|tg(x/2^(n+1))/tg(x/2^n)|.
Как известно, tg b эквивалентен b при b --> 0, поэтому:
lim A=lim|x/2^(n+1)/(x/2^n)|=lim 2^n/2^(n+1)=1/2.
Условие сходимости: 1/2|x| < 1, и получаем: |x| < 2.
Легко видеть, что при х=-2 и х=2 сходимости нет.
Комментарий: ответ Натальи неверный; к тому же этот ряд НЕ степенной, а более общий функциональный.
Ответ от Наталья[гуру]
u(n) = x^n*tg(x/2^n)u(n+1)=x^(n+1)*tg(x/2^(n+1))по признаку Даламбераlim при n -> бесонечность |u(n+1)/u(n)|== lim при n -> бесонечность |x^(n+1)*tg(x/2^(n+1))/(x^n*tg(x/2^n))|== lim при n -> бесонечность |x*2*tg(x/2^(n+1))/(x/2^(n+1))/(tg(x/2^n)/(x/2^n))|=2x<1x<1/2при x=1/2a(n)=1/2^n * tg(1/2^(n+1))lim при n -> бесонечность (1/2^(2n+1) * tg(1/2^(n+1))/(1/2^(n+1))=lim при n -> бесонечность (1/2^(2n+1))=0 - ряд сходитсятогда степенной ряд абсолютно сходится при x<=1/2
u(n) = x^n*tg(x/2^n)u(n+1)=x^(n+1)*tg(x/2^(n+1))по признаку Даламбераlim при n -> бесонечность |u(n+1)/u(n)|== lim при n -> бесонечность |x^(n+1)*tg(x/2^(n+1))/(x^n*tg(x/2^n))|== lim при n -> бесонечность |x*2*tg(x/2^(n+1))/(x/2^(n+1))/(tg(x/2^n)/(x/2^n))|=2x<1x<1/2при x=1/2a(n)=1/2^n * tg(1/2^(n+1))lim при n -> бесонечность (1/2^(2n+1) * tg(1/2^(n+1))/(1/2^(n+1))=lim при n -> бесонечность (1/2^(2n+1))=0 - ряд сходитсятогда степенной ряд абсолютно сходится при x<=1/2
Ответ от 22 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Найти область сходимости ряда