Автор Дарья Галкина задал вопрос в разделе Домашние задания
Помогите решить Лимиты! и получил лучший ответ
Ответ от Ѓдачник[гуру]
а) lim (n -> oo) (1 - 2n) / (2+ 0,5n) Делим все на n lim (n -> oo) (1/n - 2) / (2/n+ 0,5) = (0-2)/(0+0,5) = -2/0,5 = -4 б) lim (n -> oo) (кор (3n+1)) / (5-0,3n) = lim (n -> oo) [ (кор (3n+1))*(кор (3n+1)) ] / [ (5-0,3n)*кор (3n+1) ] = = lim (n -> oo) (3n+1) / [ (5-0,3n)*кор (3n+1) ] = lim (n -> oo) (3n+1) / (5-0,3n) * lim (n -> oo) [ 1 / кор (3n+1) ] = Первый предел - делим все на n, как и в примере а) . Второй предел равен 1 / оо = 0. lim (n -> oo) (3+1/n) / (5/n-0,3) * lim (n -> oo) [ 1 / кор (3n+1) ] = 3 / (-0,3) * lim (n -> oo) [ 1 / кор (3n+1) ] = (-10) * 0 = 0 в) lim [ (2n+1)! + (2n+2)! ] / (2n+3)! Факториал х! - это произведение всех чисел от 1 до х. Поэтому (х+1)! = х! * (х+1) lim (n -> оо) (2n+1)! * [ 1 + (2n+2) ] / (2n+1)! * (2n+2)(2n+3) = lim (n -> оо) (2n+3) / (2n+2)(2n+3) = lim (n -> оо) 1 / (2n+2) = 0 г) lim (x -> -1) (x^3-3x-2) / (x^2+x) = lim (n -> -1) (x+1)(x^2-x-2) / x(x+1) = lim (n -> -1) (x^2-x-2) / x = (1+1-2) / (-1) = 0 / (-1) = 0 д) lim (x -> 4) (кор (x)-2) / (кор. куб. (x^2-16)) = lim (кор (x)-2) / (кор. куб. (x-4)(x+4)) = = lim (кор (x)-2) / (кор. куб. (кор (x)-2)(кор (x)+2)(x+4)) = lim (n -> 4) (кор (x)-2)^(2/3) / (кор. куб. (кор (x)+2)(x+4)) = = (кор (4)-2)^(2/3) / (кор. куб. (кор (4)+2)(4+4)) = (2-2)^(2/3) / кор. куб. ((2+2)*8) = 0 / кор. куб. (4*8) = 0 е) lim (x -> оо) (3x^2-5x) / sin 3x = lim (x -> оо) x(3x-5) / sin 3x = lim (x -> оо) (3x-5) * lim (x -> оо) 3x / sin 3x * 1/3 lim (x -> оо) 3x / sin 3x = 1 - это первый замечательный предел. lim (x -> оо) (3x-5) * lim (x -> оо) 3x / sin 3x * 1/3 = lim (x -> оо) (3x-5) * 1 * 1/3 = оо - бесконечность ж) lim (x -> оо) (2+x)^x / (3-x)^x = lim (x -> оо) [ (2+x) / (3-x) ]^x = lim (x -> оо) [ -(-2-x) / (3-x) ]^x = -lim (x -> оо) [ (3-5-x) / (3-x) ]^x = = -lim (x -> оо) [ (3-x-5) / (3-x) ]^x = -lim (x -> оо) [1 - 5 / (3-x) ]^x = -lim (x -> оо) [1 + 5 / (x-3) ]^x = -lim (x -> оо) [1 + 5 / (x-3) ]^(x-3+3) = = -lim (x -> оо) [1 + 5 / (x-3) ]^(x-3) * [1 + 5 / (x-3) ]^3 lim (x -> оо) (1 + k / n)^n = e^k - это второй замечательный предел. -lim (x -> оо) [1 + 5/(x-3)]^(x-3) * [1 + 5/(x-3)]^3 = -lim (x -> оо) [1 + 5/(x-3)]^(x-3) * lim (x -> оо) [1 + 5/(x-3)]^3 = - e^5 * (1+0)^3 = - e^5