Автор [DuraDura] задал вопрос в разделе Домашние задания
Помогите, пожалуйста, решить пример по алгебре и получил лучший ответ
Ответ от Алексей Попов (Океан)[гуру]
Решение первое задание n^3+3n^2+5n+3 = (n^3+5n)+ (3n^2+3) =(n^3+5n)+ 3(n^2+1) второе слагаемое делится на 3 при любых n, осталось доказать, что первое слагаемое кратно 3 при любых n Разобьём все числа на три класса 1) 3к 2) 3к+1 3) 3к+2 Каждое натуральное число принадлежит какому-то одному классу 1) n^3+5n=(3к) ^3+5(3к) = 3 ( 9к^3)+5к) то есть числа этого класса являются делителями данного выражения 2) n^3+5n = (3к+1)^3+5(3к+1)= 27к^3+ 27к^2+9к+1+15к+5 = 27к^3+ 27к^2+24к+6 = 3( 9к^3+ 9к^2+8к+2) данное выражение делится на 3 и для чисел этого класса 3) n^3+5n = (3к+2)^3+5(3к+2)= = 27к^3+ 54к^2+36к+8+15к+10 = 27к^3+ 54к^2+51к+18 =3( 9к^3+ 18к^2+17к+6) данное выражение делится на 3 и для чисел вида (3к+2 ) вывод число (n^3+3n^2+5n+3) делится на 3 при любом n принадлещажее к N Второе задание 2n^3-3n^2+n = n( 2n^2-3n+1) = n(n-1)(2n-1) n(n-1)-это произведение двух последовательных натуральных чисел и одно из них делится на 2, значит выражение 2n^3-3n^2+n делится на 2 при любом n принадлещажее к N ( n>1) Самостоятельно докажи, как в первом примере, что данное выражение делится на 3 для этого нужно доказать делимость на 3 выражения 2n^3+n
решим методом математической индукции 1. n^3+3n^2+5n+3 1) база: n=1, n^3+3n^2+5n+3=12 - делится на 3 2) индуктивный переход: пусть n^3+3n^2+5n+3 кратно 3, покажем, что (n+1)^3+3(n+1)^2+5(n+1)+3 тоже кратно 3 (n+1)^3
надо воспользоваться методом математической индукции 1) если n=1, то 1+3+5+3=12 делится на 3 2) предположим, что при n=к число делится на 3 3) пусть n=к+1, тогда ...подставь к+1вместо n, раскрой скобки по формулам Куб суммы и Квадрат суммы, пр
1)при n=1 +3+5+3=12,12 делится на3 2)пусть, при k утверждение верно. 3)докажем справедливость при n=k+1.Имеем: k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5+3=k^3+3k^2+5k+3+3k^2+6k+3+6,где первые 3 слагаемые кратны 3 по предположению2),а остальные, т. к. содержат
27^4-3^10=(3^3)^4-3^10=3^12-3^10=3^10(3^2-1)=3^10*8. Один из