Многообразие это
Автор Kristina Tepikina задал вопрос в разделе Естественные науки
ПОЖАЛУЙСТА объясните доступно,что такое - многообразие (в топологии) и получил лучший ответ
Ответ от Булат 1[гуру]
Есть понятие евклидова пространства. Что это такое, учат в школе.
Многообразие - "искривленное" евклидово пространство (например, как поверхность Земли, шар) , и если рассматривать маленькую область этого многообразия, эта область выглядит как "прямое" пространство, но если смотреть глобально - нет. Например, если вы на земле нарисуете треугольник, пусть даже километровый, вы увидите, что сумма углов = 180 градусов, т. е. кривизна не чувствуется, но если нарисовать треугольник со сторонами в тысячи километров, видно, что сумма углов такого треугольника больше 180 градусов (это говорит о положительной кривизне) .
Кривизну можно "почувствовать" по-другому: построить окружность заданного радиуса R. Если длина окружности получится меньше 2*pi*R, кривизна положительна, если меньше - отрицательна, если точно равна - кривизны нет, т. е. это обычное пространство, а не многообразие.
Еще способ узнать о кривизне - параллельный перенос вектора по замкнутому контуру. Если вы по плоскому пространству будете тащить вектор по какой-нибудь траектории, и придете в исходную точку, то этот перенесенный вектор совпадет с изначальным. В "кривом пространстве", т. е. в многообразии, вектор сам с собой может не совпасть.
В общем, в отличие от пространства, в многообразии нет однозначного понятия параллельности и даже с измерением расстояний появляются проблемы.
Всё проще. Многообразие - это области. Многообразие может состоять из одной, двух и более областей. Обычно вводят для удобства описания какой-нибудь поверхности, которую нельзя описать одной функцией.
Однако многообразие -это не просто разбиение на некоторые области. Весь смысл - это отобразить ГОМЕОМОРФНО ( то есть взаимно однозначно и непрерывно в обе стороны) каждую полученную область в некоторую область Rn. При отображении задаются системы координат в этих областях Rn.Эти отображения координат называют гомеоморфизмами. Области Rn с координатами называют картами, а весь набор карт называют атласом.