Автор Neo36 задал вопрос в разделе Естественные науки
интегрирование методом разделения переменных? ? (глупый вопрос, help me) и получил лучший ответ
Ответ от Олег попов[гуру]
Любую формулу, любой закон берёте и дифференциируете с обоих сторон по оси dx если не знаете по чему. В любой формуле не больше 3 переменных или осей. Две из них. И равенство будет иметь место после. Т. е те же величины, но изменяющиеся во времени например. Например для реактивного движения дифференциируется закон сохранения импульса. Изменение массы всегда равно изменению скорости (приращение). Мат. анализ мощный метод для изучения. Динамика процессов можно назвать. Изменение тока, длины балки в строителистве, все колебания, все функции вообщем. .
Ответ от Коротеев Александр[гуру]
Интегрирование в известной степени обратно дифференцированию.
Если есть интеграл от f'(t) по dt, то он равен f(t) + C, где С - произвольная константа.
Ведь производная от ( f(t) + C ) равна f'(t), т. к. производная константы равна 0.
А дифференциал от f(t) есть df(t) = f'(t)dt
Интеграл от d(чего-то там) равен чему-то там + константа.
Это неопределённый интеграл.
Определённый интеграл берётся в некоторых пределах. От t1 до t2.
Тогда такой интеграл от f'(t)dt будет равен f(t2) - f(t1) - разности первообразных от подынтегральной функции в точках этих пределов. В произвольной константе необходимости больше нет, т. к. f(t2) + C - f(t1) - C - она просто сокращается.
Аналогично берётся определённый интеграл с переменных верхним пределом. От какого-нибудь t0 до t.
Если в предыдущем случае получалось ЧИСЛО ( f(t2) - f(t1) ), то тут получится ФУНКЦИЯ от t.
Обычно при этом подынтегральную функцию записывают с другой переменной, чтобы не путалась переменная интегрирования с переменным пределом, но реально на это иногда забивают, если и так всё понятно.
Итак, интеграл в пределах от to до t от функции f'(т) по dт равен f(t) - f(to).
Это и будет использовано.
С интегралами вообще - т. е. с правилом нахождения первообразных от типовых, элементарных функций, конечно, придётся разбираться. Например (неопределёный) интеграл от x^n равен 1/(n+1) * x^ (n+1) + const.
Очевидно, что если это продифференцировать по правилу для производной (x^n)' - n*x^(n-1), то получится исходная функция. Если знакомы хотя бы производные - надеюсь, это поможет понять цепочку преобразований.
****************
С разделением переменных вот какая вещь. Иногда удобнее решать уравнение собрав одну переменную (или функцию) и дифференциалы от них по разные стороны от знака равенства. Тогда можно обе стороны проинтегрировать - каждую по своему дифференциалу с согласованными переменными (обычно верхними) пределами.
dS = (Vo - bS)dt
разделение тут простое - надо просто поделить обе части на скобку и тогда, очевидно, переменные разделятся:
dS / (Vo - bS) = dt
Дальше надо взять два интеграла - один по dS, другой по dt.
По dt - от, вероятно, 0 до некоторого T, а по dS тогда - от S(0) до S(T)
(!не обязательно от 0 - можно и от другого To)
На этом разделение закончилось. Надо тупо брать сами интегралы.
вносим b под знак дифференциала, одновременно с этим надо на него поделить.
Vo тоже вносится, но т. к. это аддитивная постоянная - дифференциал не меняется.
Интегрируем же теперь от bS(0) - Vo до bS(T) - Vo - т. к. под дифференциалом выражение изменилось. Но это обычно тоже явно не пишут, ибо очевидно.
d(bS - Vo) / b(Vo - bS) = dt
вносим ещё знак минус, а b переносим в другую сторону, чтобы смотрелось лучше.
d(Vo-bS) / (Vo-bS) = -bdt
ещё один шаг; чтобы его понять, надо вспомнить производную логарифма
d( ln(Vo-bS) ) = d (-bt)
собственно интегрирование
ln (Vo-bS(T)) - ln (Vo - bS(0)) = -bT - (-b*0)
по свойству логарифма
ln ( (Vo - bS(T)) / (Vo - bS(0)) ) = -bT
потенцируем
(Vo - bS(T)) / (Vo - bS(0)) = exp(-bT)
приводим в цивилизованный вид
Vo - bS(T) = (Vo - bS(0)) * exp(-bT)
S(T) = Vo/b * (1-exp(-bT)) + S(0)*exp(-bT)
Ну и переменную T просто переименовываем в t для удобства. Когда процедура отработана это очевидное действие тоже особо не оговаривается.
S(t) = Vo/b * (1-exp(-bt)) + S(0)*exp(-bt)
В задаче по-видимому, есть какое-то начальное условие - задано S(0) явно или неявно (по смыслу задачи) . Если начальное условие таково, что S(0) = 0, то член с ним вылетает и остаётся то, что требовалось:
S(t) = Vo/b * (1-exp(-bt));
Для знакомого с аппаратом интегрирования чисто механически в этой задаче ничего сложного нет. Никаких хитрых замен делать не надо.
Подобные методы для решения задач вобщем-то часто вводятся и разбираются на уроках/лекциях по "физике" даже незадолого до того, как они формально и детально разбираются в "математике".
>^.^<
Интегрирование в известной степени обратно дифференцированию.
Если есть интеграл от f'(t) по dt, то он равен f(t) + C, где С - произвольная константа.
Ведь производная от ( f(t) + C ) равна f'(t), т. к. производная константы равна 0.
А дифференциал от f(t) есть df(t) = f'(t)dt
Интеграл от d(чего-то там) равен чему-то там + константа.
Это неопределённый интеграл.
Определённый интеграл берётся в некоторых пределах. От t1 до t2.
Тогда такой интеграл от f'(t)dt будет равен f(t2) - f(t1) - разности первообразных от подынтегральной функции в точках этих пределов. В произвольной константе необходимости больше нет, т. к. f(t2) + C - f(t1) - C - она просто сокращается.
Аналогично берётся определённый интеграл с переменных верхним пределом. От какого-нибудь t0 до t.
Если в предыдущем случае получалось ЧИСЛО ( f(t2) - f(t1) ), то тут получится ФУНКЦИЯ от t.
Обычно при этом подынтегральную функцию записывают с другой переменной, чтобы не путалась переменная интегрирования с переменным пределом, но реально на это иногда забивают, если и так всё понятно.
Итак, интеграл в пределах от to до t от функции f'(т) по dт равен f(t) - f(to).
Это и будет использовано.
С интегралами вообще - т. е. с правилом нахождения первообразных от типовых, элементарных функций, конечно, придётся разбираться. Например (неопределёный) интеграл от x^n равен 1/(n+1) * x^ (n+1) + const.
Очевидно, что если это продифференцировать по правилу для производной (x^n)' - n*x^(n-1), то получится исходная функция. Если знакомы хотя бы производные - надеюсь, это поможет понять цепочку преобразований.
****************
С разделением переменных вот какая вещь. Иногда удобнее решать уравнение собрав одну переменную (или функцию) и дифференциалы от них по разные стороны от знака равенства. Тогда можно обе стороны проинтегрировать - каждую по своему дифференциалу с согласованными переменными (обычно верхними) пределами.
dS = (Vo - bS)dt
разделение тут простое - надо просто поделить обе части на скобку и тогда, очевидно, переменные разделятся:
dS / (Vo - bS) = dt
Дальше надо взять два интеграла - один по dS, другой по dt.
По dt - от, вероятно, 0 до некоторого T, а по dS тогда - от S(0) до S(T)
(!не обязательно от 0 - можно и от другого To)
На этом разделение закончилось. Надо тупо брать сами интегралы.
вносим b под знак дифференциала, одновременно с этим надо на него поделить.
Vo тоже вносится, но т. к. это аддитивная постоянная - дифференциал не меняется.
Интегрируем же теперь от bS(0) - Vo до bS(T) - Vo - т. к. под дифференциалом выражение изменилось. Но это обычно тоже явно не пишут, ибо очевидно.
d(bS - Vo) / b(Vo - bS) = dt
вносим ещё знак минус, а b переносим в другую сторону, чтобы смотрелось лучше.
d(Vo-bS) / (Vo-bS) = -bdt
ещё один шаг; чтобы его понять, надо вспомнить производную логарифма
d( ln(Vo-bS) ) = d (-bt)
собственно интегрирование
ln (Vo-bS(T)) - ln (Vo - bS(0)) = -bT - (-b*0)
по свойству логарифма
ln ( (Vo - bS(T)) / (Vo - bS(0)) ) = -bT
потенцируем
(Vo - bS(T)) / (Vo - bS(0)) = exp(-bT)
приводим в цивилизованный вид
Vo - bS(T) = (Vo - bS(0)) * exp(-bT)
S(T) = Vo/b * (1-exp(-bT)) + S(0)*exp(-bT)
Ну и переменную T просто переименовываем в t для удобства. Когда процедура отработана это очевидное действие тоже особо не оговаривается.
S(t) = Vo/b * (1-exp(-bt)) + S(0)*exp(-bt)
В задаче по-видимому, есть какое-то начальное условие - задано S(0) явно или неявно (по смыслу задачи) . Если начальное условие таково, что S(0) = 0, то член с ним вылетает и остаётся то, что требовалось:
S(t) = Vo/b * (1-exp(-bt));
Для знакомого с аппаратом интегрирования чисто механически в этой задаче ничего сложного нет. Никаких хитрых замен делать не надо.
Подобные методы для решения задач вобщем-то часто вводятся и разбираются на уроках/лекциях по "физике" даже незадолого до того, как они формально и детально разбираются в "математике".
>^.^<
Ответ от Zamba Ekkelskof[гуру]
dS = (Vo - bS)dt ,
- 1/b * d(Vo - bS) = (Vo - bS)dt,
d(Vo - bS)/ (Vo - bS) = -b*dt,
d(ln(Vo – bS)) = d(-bt),
интегрируем и подстав пределы интегрирования, получим
ln(Vo – bS)(от 0 до S) = -bt(от 0 до t),
ln(Vo – bS) – lnVo = -bt,
ln((Vo-bS)/Vo) = -bt,
e^(-bt) = (Vo-bS)/Vo
Vo-bS = Vo * e^(-bt)
bS = Vo(1- e^(-bt))
S = (Vo/b)*(1-e^(-bt))
dS = (Vo - bS)dt ,
- 1/b * d(Vo - bS) = (Vo - bS)dt,
d(Vo - bS)/ (Vo - bS) = -b*dt,
d(ln(Vo – bS)) = d(-bt),
интегрируем и подстав пределы интегрирования, получим
ln(Vo – bS)(от 0 до S) = -bt(от 0 до t),
ln(Vo – bS) – lnVo = -bt,
ln((Vo-bS)/Vo) = -bt,
e^(-bt) = (Vo-bS)/Vo
Vo-bS = Vo * e^(-bt)
bS = Vo(1- e^(-bt))
S = (Vo/b)*(1-e^(-bt))
Ответ от Ivan Kunin[гуру]
разделим на множитель при диференциале времени
dS/(Vo - bS) = dt
интегрируем, слева выходит интеграл типа логарифма, справа от dt просто t, ну и еше пр. сталая, которую потом засунем куда-то
-1/b*ln(Vo-bS)=t+C
ln(Vo-bS)=-bt-bC
Vo-bS=exp(-bt-bC)
S=(Vo-exp(-bt-bC))/b=(Vo - exp(-bt)*exp(bC))/b
по-видимому из какого-то условия взяли что exp(bC)=Vo
вот и все
разделим на множитель при диференциале времени
dS/(Vo - bS) = dt
интегрируем, слева выходит интеграл типа логарифма, справа от dt просто t, ну и еше пр. сталая, которую потом засунем куда-то
-1/b*ln(Vo-bS)=t+C
ln(Vo-bS)=-bt-bC
Vo-bS=exp(-bt-bC)
S=(Vo-exp(-bt-bC))/b=(Vo - exp(-bt)*exp(bC))/b
по-видимому из какого-то условия взяли что exp(bC)=Vo
вот и все
Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Это вот как: dS/(S-Vo/b)= -bdt,
теперь интегрируем (интегрирование -
действие, обратное к дифференцированию) :
ln(S-Vo/b)=ln C-bt, проверьте
дифференцированием!
(Здесь С - постоянное число, которое пока
неизвестно. )
Потенцируем: S-Vo/b=Ce^(-bt), S=Vo/b+Ce^(-bt).
Теперь надо учесть начальное условие,
которое в книге есть, а у Вас отсутствует:
при t=0, должно быть S=0.
Отсюда: 0=Vo/b+C, C=-Vo/b,
Ответ: S=Vo/b*(1-e^(-bt)).
Это вот как: dS/(S-Vo/b)= -bdt,
теперь интегрируем (интегрирование -
действие, обратное к дифференцированию) :
ln(S-Vo/b)=ln C-bt, проверьте
дифференцированием!
(Здесь С - постоянное число, которое пока
неизвестно. )
Потенцируем: S-Vo/b=Ce^(-bt), S=Vo/b+Ce^(-bt).
Теперь надо учесть начальное условие,
которое в книге есть, а у Вас отсутствует:
при t=0, должно быть S=0.
Отсюда: 0=Vo/b+C, C=-Vo/b,
Ответ: S=Vo/b*(1-e^(-bt)).
Ответ от 22 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: интегрирование методом разделения переменных? ? (глупый вопрос, help me)