Адамса метод
Автор Ёерёга задал вопрос в разделе Образование
Численные методы. Шаговый метод. и получил лучший ответ
Ответ от А[гуру]
Метод Адамса — разностный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий вычислять таблицу приближённых значений решения в начальных точках.
Назван по имени предложившего его английского астронома Дж. К. Адамса в 1855.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0. Численное решение задачи состоит в построении приближенного значения y1 решения уравнения y(x) в точке x1 = x0 + h. Методами Адамса называют группу многошаговых методов, в которых приближенное решение yn+1=y(xn+1) в точке xn+1=x0+h(n+1) вычисляется по формуле, использующей полином P(x) наименьшей степени, интерполирующий правую часть f(x,y) по значениям fn, fn-1, ..fn-k+1, fr = f(xr,yr). Методы, в которых P(x) = Pkn(x) называют k-шаговыми явными методами Адамса-Башфорта, а методы, в которых P(x) = Pk+1n+1 - (k+1)-шаговыми неявными методами Адамса-Мултона. Методы Адамса k-го порядка требуют предварительного вычисления решения в k начальных точках. Часто для вычисления дополнительных начальных значений используется метод Рунге-Кутты 4-стадийный 4-го порядка точности. Локальная погрешность методов Адамса k-го порядка O(hk). Методы Адамса обладают лучшей, по сравнению с методами Рунге-Кутты устойчивостью.
- Название: Вычислительные методы для инженеров
Авторы: Амосов А. А. , Дубинский Ю. А. , Копченова Н. В.
Аннотация:
Рассматриваются наиболее часто используемые в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений, проблемы собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на компьютере и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций. Можно скачать.
Речь идёт о поэтапном решении нелинейных уравнений.
Этап 1. Этап отделения корней.
На этом этапе мы определяем участки, на каждом из которых лежит только один корень уравнения.
Есть несколько вариантов реализации этого этапа.
Вариант 1. Действительно тупо подставляем значения X (желательно с каким-то достаточно мелким шагом) и смотрим где функция сменит знак. Если функция сменила знак, это значит, что на участке между предыдущим и текущим значением X лежит корень (если функция не меняет с большой частотой характер возрастания/убывания, то можно утверждать что корень на этом интервале один) .
Вариант 2. Графический метод. Строим график и оцениваем на каких интервалах лежит один корень.
Вариант 3. Используем некоторые соображения, связанные с видом конкретной функции. Например, теоремы алгебры, описывающие свойства корней кубического уравнения.
Этап 2. Уточнение корня. Как правило на этом этапе используются итерационные методы. Здесь тоже есть варианты.
Вариант 1. Метод половинного деления.
Вариант 2. Метод простых итераций.
Вариант 3. Метод Ньютона.
Примечание:
Обычно термин шаговые методы относится к n-шаговым методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых чтобы получить значение при следующем значении независимой переменной используется несколько промежуточных расчётов (так называемых шагов) .
Всё это очень хорошо, но не имеет отношения к решению обычных (не дифференциальных) нелинейных уравнений.