Определение предела
Автор Парень задал вопрос в разделе Естественные науки
Что такое предел функции? и получил лучший ответ
Ответ от Дмитрий Гарбузов[новичек]
Википедиямастера! Фу! Позор! Там так написано, что без 100 г не разберёшь. Вот определения, который учитель давал:
1) Определение предела функции в точке по Гейне (на языке последовательностей) :
Число А называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любой последовательности допустимых значений x(n) (x(n) <> х0), сходящейся к точке х0, последовательность соответствующих значений сходится к числу А.
2) Определения предела функции в точке по Коши (на языке ε Δ):
Число А называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε найдётся такое положительное число Δ, что для всех х, отличных от х0, и удовлетворяющих неравенству |x-x0|<Δ, будет выполняться неравенство |f(x)-A|<ε
Замечание:
Запись х<>х0 вместе с неравенством |x-x0|<Δ означает, что определение сформулировано для проколотой Δ-окрестности.
3) Определение предела на бесконечности:
Число А называется пределом функции y=f(x), при х->+∞, если
1) функция определена на +∞
2) если для любого неотрицательного числа ε, найдётся такое число М, зависящее от ε, что, при всех х>М (ε), будет выполняться неравенство |f(x)-A|<ε.
4)Число А называется пределом функции y=f(x), при х->+∞, если
1) функция определена на -∞
2) если для любого неотрицательного числа ε, найдётся такое число М, зависящее от ε, что, при всех х<М (ε), будет выполняться неравенство |f(x)-A|<ε.
Внимание!
Обратите внимание, что в определении для +∞ во второй части определения х>М (ε), а для -∞ - х<М (ε). Это важно!
Для левостороннего и правостороннего предела определения нужны?
Я зависла у монитора, вспоминая что это такое. Это из раздела алгебры, открой учебник 10 класса
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается) ; если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке) . Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят) .
В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т. н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке) . Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента) , как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности» .
Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.
Без уточнения "в точке" или "на бесконечности" - просто набор слов без смысла.