Автор Дарья задал вопрос в разделе Образование
помогите пжл решить ужасные интегралы??)) и получил лучший ответ
Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
Раскладываем знаменатель на множители
x^4 - 5x^3 + 6x^2=x^2 (x-2) (x-3)
Потом ищем представление
(7x^3-9)/(x^4-5x^3+6x^2) = A/x + B/x^2 + C/(x-2) + D/(x-3)
Домножаем обе части на x^2 (x-2) (x-3), представляем правую часть в виде многочлена по x
(A+C+D)x^3+(-5A+B-3C-2D)x^2+(6A - 5B)x+6B
Приравнивая коэффициенты соответствующим коэффициентам 7x^3-9, получим систему для A,B,C,D, откуда найдём
A=-5/4, B=-3/2, C=-47/4, D=20
Каждый из интегралов суммы A/x + B/x^2 + C/(x-2) + D/(x-3) легко берётся отдельно
Во втором интеграле
x^2-2x+5 дискриминант отрицательный надо представлять в виде (x-1)^2+4
Замена x-1=t с самого начала упрощает запись
x=t+1, x^2=t^2+2t+1, 2x^2-3x-3=2(t^2+2t+1)-3(t+1)-3=2t^2+t-4
(2t^2+t-4)/t(t^2+4)
Ищем представление в виде
(2t^2+t-4)/t(t^2+4) = A/t + B/(t^2+4) + Ct/(t^2+4)
Домножая обе части на знаменатель левой части получим
2t^2+t-4=(A+C)t^2+Bt+4A
A=-1, B=1, C=3
Отдельные интегралы опять легко берутся
из A/t получается логарифм
Ct/(t^2+4) интегрируется заменой t^2+4=u
B/(t^2+4) заменой t=2 tg u