интегралы и ряды

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
1а) ∫x sin(5x) dx Интегрируем по частям: x=u => du=dx; sin(5x)dx=dv => v=-(1/5)cos(5x)∫ x sin(5x) dx = x*(-1/5)cos(5x) - ∫(/1/5)cos(5x)dx = -(1/5)x cos(5x) - (1/25)sin(5x) + C, C -- произвольная константаПроверяем дифференцированием:(-(1/5)x cos(5x) - (1/25)sin(5x) + C)\' = (-1/5)cos(5x) - (1/5)x(-sin(5x))*5 -(1/25)*cos(5x)*5 Первое и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и получается x sin(5x), т. е. интегрирование выполнено правильно.======================================================================1б) ∫sin(ln x)/x dxДелаем замену переменной y = ln x, тогда dy = dx/x, и интеграл приобретает вид∫sin(ln x)/x dx = ∫sin(y)dy = -cos y + C = C - cos(ln x); C -- произвольная константа=======================================================================2а) Исследовать сходимость числового ряда∞∑ (-1)^(n-1)/(2n-1)n=1(замечание: скобки расставлять нужно обязательно, во избежание неверной трактовки)Решение. Данный ряд -- знакопеременный; общий членa(n) = (-1)^(n-1)/(2n-1)Проверяем необходимое условие сходимости:lim a(n) = 0 => выполненоn->∞Проверяем сходимость ряда по признаку Лейбница:|a(n+1)| - |a(n)| = 1/(2n+1) - 1/(2n-1) = -2/[(2n-1)(2n+1)] < 0,т. е. |a(n+1)| < |a(n)| и a(n)->0Значит, наш ряд сходится.Проверим ряд на абсолютную сходимость:∞∑ 1/(2n-1)n=1-- ряд расходится (это факт довольно известный; если требуется доказать -- напиши, объясню как это сделать) .ОТВЕТ: ряд сходится условно===========================================2б) с помощью разложения в степенной ряд вычислить значение ф-ции или интеграла с указанной точностью дельта (∂=0,0001)½∫sin(x)/х dx0Решение. Раскладываем подынтегральное выражение в ряд Тейлора в окрестности нуля и интегрируем почленно.sin x = ∑ (-1)^n/(2n+1)! * x^(2n+1) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! - …(здесь и далее сумма по n от 0 до ∞)(sin x)/x = ∑ (-1)^n/(2n+1)! * x^(2n) = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + x^8/9! - …t∫(sinx)/х dx = ∑ (-1)^n/(2n+1)! * t^(2n+1)/(2n+1) = ∑ (-1)^n/[(2n+1)!*(2n+1)] * t^(2n+1)0Подставляем t = ½:½∫(sinx)/х dx = ∑ (-1)^n/[(2n+1)*(2n+1)!] / 2^(2n+1) = 1/(1*1!*2^1) - 1/(3*3!*2^3) + 1/(5*5!*2^5) - …0(можно убедиться, что ряд абсолютно сходится -- например, с помощью признака Даламбера)Поскольку ряд знакопеременный, то ошибка при оставлении первых нескольких членов не превышает первого отброшенного члена.Легко убедиться, что уже третье слагаемое можно отбросить:5*5!*2^5 = 5*120*32 > 10 000, поэтому ошибка при отбрасывании третьего и последующих слагаемых не превышает ∂=0,0001Складываем первые 2 члена ряда: 1/2 - 1/(3*6*8) = 1/2 - 1/144 = 71/144 = 0,4931…ОТВЕТ: 0,4931