Интеграл cos x 6
Автор Наташа Смирнова задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
как решить интеграл? (cos3x)^6 и получил лучший ответ
Ответ от Андрей Степанов[гуру]
cos^6(x) = cos^2(x)cos^2(x)cos^2(x)
А теперь вспомним формулы двойного угла (формулы понижения степени) :
cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1
откуда:
cos^2(x) = (cos(2x) + 1)/2
тогда:
cos^6(x) = cos^2(x)cos^2(x)cos^2(x) = (cos(2x) + 1)*(cos(2x) + 1)*(cos(2x) + 1)/8 = (1/8)*(cos^3(2x) + 3cos^2(2x) + 3cos(2x) + 1)
Таким образом наш интеграл разбивается на сумму 4-х интегралов. Интеграл от 1 табличный, интеграл от cos(2x) - табличный.
Интеграл от cos^2(2x) по все той же формуле понижения степени преобразуется в (1/2) Интеграл_cos(4x)dx + Интеграл_1dx
Оба эти интеграла тоже табличные.
Интеграл от cos^3(2x) = Интеграл_(1 - sin^2(2x))*cos(2x)dx = Интеграл_cos(2x)dx - Интеграл_sin^2(2x)cos(x)dx
Первый интеграл табличный, второй интеграл берется заменой переменных: sin(2x) = t; dt = -2cos(x)dx
Вот и все. Формулы тригонометрические запоминать надо. Без них такие интегралы никогда брать не научитесь!
Успехов!