Пространство римана
Автор Антонина задал вопрос в разделе Естественные науки
Что такое геометрия Римана? и получил лучший ответ
Ответ от Иринка[гуру]
В своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» , прочитанной в 1854 году, немецкий математик Риман замечает, что в основе всех предшествовавших исследований лежит допущение того, что прямые имеют бесконечную длину, которое является, конечно, крайне естественным. Но что получится, если отбросить это допущение, если, например, вместо него предположить, что прямые – суть линии замкнутые, вроде больших кругов на сфере. Речь идет по сути о различии между бесконечностью и безграничностью; это различие лучше всего можно понять, рассматривая аналогичное соотношение в двумерной области: безграничными являются как обыкновенная плоскость, так и поверхность сферы, но только первая бесконечна, в то время как другая имеет конечное протяжение.
Риман считает пространство лишь неограниченным, но не бесконечным; тогда прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если заставить теперь снова, как и прежде, точку P перемещаться по прямой a все время в одном направлении, то она в конце концов снова вернется к исходному месту, а луч AP вообще не будет иметь никакого предельного положения; не существует вообще никакой прямой, проходящей через точку A параллельно прямой a. Таким образом у Римана строится второй вид неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.
Не следует путать с термином с "Римановой геометрией"
Геометрия Римана - одна из 3 великих геометрий (Евклида, Лобачевского и Римана). Если Геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой Гауссовой кривизной, Лобачевского - с постоянной отрицательной, то геометрия Римана - реализуется на поверхностях с постоянной положительной Гауссовой кривизной. В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость - тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д. , но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В частности, в этой геометрии имеется теорема: сумма углов треугольника больше двух прямых.
Исторически геометрия Римана появилась позже других двоих геометрий (в 1854 г. )
Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две "прямые" имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость. Названа в честь великого Римана - блестящего немецкого математика, основателя математического аппарата современной физики.
Геометрия Римана - одна из 3 великих геометрий (Евклида, Лобачевского и Римана). Если Геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой Гауссовой кривизной, Лобачевского - с постоянной отрицательной, то геометрия Римана - реализуется на поверхностях с постоянной положительной Гауссовой кривизной. В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость - тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д. , но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В частности, в этой геометрии имеется теорема: сумма углов треугольника больше двух прямых.
Исторически геометрия Римана появилась позже других двоих геометрий (в 1854 г. )
Геометрия Римана похожа на сферическую геометрию, но отличается тем, что любые две "прямые" имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается проективная плоскость. Названа в честь великого Римана - блестящего немецкого математика, основателя математического аппарата современной физики.
Римана геометрия, эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых (в значительной части) отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. Основными объектами, или элементами, трёхмерной Р. г. являются точки, прямые и плоскости; основные понятия Р. г. суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости) , порядка (например, порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности (фигур). Требования аксиом Р. г. , касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями аксиом проективной геометрии. Соответственно, в Р. г. имеют место, например, следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке) , точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Требования аксиом Р. г. , касающиеся конгруэнтности, сходны с требованиями соответствующих аксиом геометрии: во всяком случае они обеспечивают движения фигур по плоскости и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана "в малом" совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R2 называется кривизной пространства Римана (чем меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым). Свойства плоскости Римана "в целом" отличаются от свойств целой сферы; так, например, на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые играют роль прямых в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость (т. е. , если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а, возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а).