Базис это
Автор Иван Дулин задал вопрос в разделе Естественные науки
Ообясните "на пальцах" что такое базис? и получил лучший ответ
Ответ от Evgeny M.[гуру]
НА ПАЛЬЦАХ? Пожалуйста!
Возьми правую руку, сожми пальцы в кулак, а потом максимально оттопырь из кулака три пальца: большой, указательный и средний. Эти три пальца показывают по трем разным направлениям. Ну типа по осям, х, y и z. Это и есть базис в трехмерном пространстве.
Базисом эта штука называется потому что любой карандаш, торчащий из кулака в любом направлении и любой длины, имеет три проекции на твои пальцы. Типа, какой он длины вдоль большого пальца, вдоль указательного и вдоль среднего. Зная эти три числа можно восстановить, какой длины был карандаш в кулаке и куда он был направлен.
Если бы наше пространство было 4-мерным, то я бы предложил тебе оттопырить 4 пальца, а в пятимерном 5 пальцев. Но в 3-мерном пространстве 4-й и 5-й пальцы для базиса уже лишние. Базис обходится минимально необходимым числом пальцев. Четвертый и пятый пальца можно как карандаш спроектировать на первые три и однозначно определить их положение. А вот если определить положение третьего пальца из проекций только на два пальца, то однозначно восстановить положение не удается. (Пошевели каким-нибудь одним из трех пальцев и проверь это сам. )
А если бы речь шла о твоей ладони на столе (2-мерное пространство) , то я бы предложил оттопырить только 2 пальца. В 2-мерном пространстве этого достаточно.
Базис называется ортогональным если между всеми тремя твоими пальцами все углы равны 90 градусов. (Это можно сделать, пошевелив пальцами. У меня ортогональный базис получается, если максимально раздвинуть пальцы, я ведь не пианист. )
Базис называется нормированным, если все три пальца имеют одну и ту же длину. (Ни в коем случае не подрезай пальцы ножом! Твой базис на пальцах ненормированный от природы. )
Базисы бывают левые и правые. Левый у тебя на левой руке. Они зеркально отраженные и их нельзя совместить друг с другом. (Проверь это в качестве домашнего задания. )
Всю линейную алгебру можно объяснить на пальцах!
Источник: Не так страшен черт, как его малюют!
Основа))
Базис это то, на что опирается ваша мысль.
* В математике:
o Базис — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде их линейной комбинации.
o Базис или база топологии.
o Базис n-го порядка — понятие аддитивной теории чисел, см. плотность последовательности.
o Базис Грёбнера
* В экономике:
o Базис и надстройка — в марксизме, элементы политэкономической системы.
В n-мерном пространстве всегда можно выбрать ровно n векторов таких, что любой вектор представляется в виде их линейной комбинации (причём базис можно выбрать множеством способов). Причём векторов в базисе не может быть меньше n, иначе уже не всё пространство можно представить как их линейную комбинацию. Каждый вектор разлагается в базисе только одним способом.
НАПРИМЕР: на плоскости можно выбрать любые два вектора i, j (лишь бы не параллельных) , тогда любой вектор можно представить в виде
a*i + b*j
Тогда числа a, b называются коэффициентами разложения вектора в базисе (i, j), или просто координатами в этом базисе.
ОДИН вектор не подходит в качестве базиса, т. к. с помощью него невозможно разложить любой вектор (а только параллельные данному).
В трёхмерном пространстве - три вектора и т. д.
По-моему в Вики примерно так и написано. Если и так непонятно, то нужно
1) Понять, что же такое векторное пространство;
2) Понять, что такое сложение векторов, умножение вектора на скаляр;
3) Понять, что такое линейная комбинация и линейная независимость;
4) Прочитать ещё раз и вникнуть в каждое слово.
Ортогональный базис - когда вектора в базисе выбираются перпендикулярные. Вектора в таком базисе называются ортами.
Нормированный базис - когда вектора в базисе выбираются одинаковой длины (длина вектора по-другому называется нормой). Тогда говорят, что базис нормирован на C, где C - число - длина векторов. Обычно нормируют на единицу.
Чаще всего оперируют ортогональным нормированным (на единицу) базисом, так удобнее.
Ортогональный нормированный на единицу базис сокращённо называют ортонормированным.
В каком-то смысле понятие "базис" похоже на декартовы координаты. Декартовы координаты - пример ортонормированного базиса (в качестве базисных векторов - единичные отрезки вдоль каждой оси).
Можно подсчитать сумму векторов, при сложении умножая их на определенные коэффициенты, и получить еще один вектор.
Можно поступить наоборот - для данного вектора подобрать набор других векторов с коэффициентами, такой, что их сложение даст исходный вектор. Это сумма есть линейная комбинация.
Хочется найти такой минимальный набор векторов, что бы любой другой вектор выражался в виде линейной комбинации через этот набор.
Такой набор называется базисом.
Даже в одном пространстве базисов может быть много.
Если в этом наборе все вектора попарно перпендикулярны, то это ортогональный базис
Если в этом наборе длина каждого вектора равна 1, то это нормированный базис
ортогональный нормированный базис называется ортонормированным
например на координатоной плоскости вектор по оси икс и вектор по оси игрек образуют базис