аксиомы в геометрии

Ответ от Александр Титов[гуру]
В стандартной школьной евклидовой геометрии всего тринадцать аксиом. Из них девять аксиом - это аксиомы планиметрии, а ещё четыре - это аксиомы стереометрии.
Вот аксиомы планиметрии:
А1.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки не принадлежащие этой прямой. Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
А2. Из трёх точек на прямой одна о только одна лежит между двумя другими.
А3 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
А4 Всякая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если две точки принадлежат одной полуплоскости, то отрезок с концами в этих точках не пересекает прямую. Если две точки принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок с концами в этих точках пересекает прямую.
А5 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Градусная мера развёрнутого угла принимается равной 180 градусам.
А6 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
А7 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один.
А8 Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
А9 Через точку не лежащую на данной прямой можно провести прямую на плоскости, параллельную данной прямой и притом только одну.
Это знаменитый пятый постулат Евклида.
На этих девяти аксиомах базируется весь курс планиметрии - геометрии на плоскости. Все теоремы доказываются на основе либо этих аксиом, либо ранее доказанных теорем. Любая теорема доказывается и любая задача решается в конечном итоге сведением к одной или нескольким аксиомам. В этом фундаментальное значение этих аксиом. Иногда к аксиомам добавляют и простые и очевидные законы логики и теории множеств. Например, если некоторая точка лежит на данном отрезке, который, в свою очередь лежит на данной прямой, то эта точка лежит на данной прямой. Если в процессе доказательства теоремы выдвигается предположение, противоположное смыслу теоремы, и из этого предположения на основе опять-таки этих аксиом получается, что некоторая точка принадлежит некоторой прямой и одновременно не принадлежит ей, то это противоречие опровергает выдвинутое предположение и теорема считается доказанной (метод от противного).
К аксиомам стереометрии причисляют сформулированные девять аксиом планиметрии (с учётом того, что каждая из них верна в некоторой плоскости) и ещё добавляются четыре аксиомы:
Аксиомы стереометрии
В1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие этой плоскости Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскости и притом только одну.
В2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
В3. Всякая плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если две точки принадлежат одному полупространству, то отрезок с концами в этих точках не пересекает плоскость. Если две точки принадлежат разным полупространствам, то отрезок с концами в этих точках пересекает плоскость.
Иногда эту аксиому в школьной программе не рассматривают.
В4: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Как и в планиметрии, в стереометрии набор этих аксиом лежит в основе доказательства любой теоремы и решения любой задачи.